[논문 리뷰] Homogenization of a class of one-dimensional nonconvex viscous Hamilton-Jacobi equations with random potential

Elena Kosygina, Atilla Yilmaz외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 09.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 49인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 무작위 잠재력에 의해 구동되는 비볼록 해밀토니안을 가진 일차원 점성 해밀턴-자코비 방정식에 대한 동질화를 수립한다. 브라운 운동의 무작위 잠재력에서의 지수적 순간을 통한 제어이론적 해석을 통해, 효과적 해밀토니안은 이러한 순간들의 점근적 성장률로 식별되며, 이는 기본 확산의 기울인 자유 에너지와 명시적으로 연결된다. 주요 결과는 선형 초기 조건을 가진 해의 거의 확실한 동질화이며, 이는 비볼록, 무작위 설정에서의 1차원에서 동질화 이론을 확장한다.

ABSTRACT

We prove the homogenization of a class of one-dimensional viscous Hamilton-Jacobi equations with random Hamiltonians that are nonconvex in the gradient variable. Due to the special form of the Hamiltonians, the solutions of these PDEs with linear initial conditions have representations involving exponential expectations of controlled Brownian motion in a random potential. The effective Hamiltonian is the asymptotic rate of growth of these exponential expectations as time goes to infinity and is explicit in terms of the tilted free energy of (uncontrolled) Brownian motion in a random potential. The proof involves large deviations, construction of correctors which lead to exponential martingales, and identification of asymptotically optimal policies.

연구 동기 및 목표

• 무작위 해밀토니안을 가진 점성 해밀턴-자코비 방정식에 대한 동질화를 1차원에서 수립한다.
• 무작위 잠재력 내에서 브라운 운동의 지수적 순간의 점근적 성장률로 효과적 해밀토니안을 특성화한다.
• 지수 마팅갈과 교정자들을 포함하는 제어이론적 프레임워크를 도입하여 볼록 해밀토니안을 초월한 동질화 이론을 확장한다.
• 잠재력에 대한 일반적인 에르고딕성 및 혼합 유사 조건 하에서 PDE의 해가 거의 확실하게 동질화 극한으로 수렴함을 증명한다.

제안 방법

• 홉프-콜 기법을 통해 PDE의 해를 무작위 잠재력 내의 제어된 브라운 운동의 지수적 순간으로 표현한다.
• 대규모 편차 이론과 기울인 자유 에너지 이론을 사용하여 이러한 지수적 순간의 점근적 행동을 분석한다.
• 지수 마팅갈을 이끌어내는 교정자를 구성함으로써 점근적으로 최적의 제어 정책을 식별한다.
• 잠재력의 에르고딕성과 경로의 정규성을 활용하여 점성 해의 존재성과 유일성을 확보한다.
• 암묵함수 정리와 지배 수렴 정리를 적용하여 효과적 해밀토니안의 미분 가능성과 연속성을 증명한다.
• 제어 표현과 점성 해 이론을 결합하여 동질화 극한에서의 수렴을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 잠재력이 존재하는 비볼록 해밀토니안을 가진 점성 해밀턴-자코비 방정식에 대해 동질화를 수립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 비볼록, 무작위 설정에서 효과적 해밀토니안은 무엇이며, 잠재력의 통계적 성질과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 무작위 잠재력 내에서 브라운 운동의 지수적 순간의 점근적 행동은 어떻게 동질화된 역학을 결정하는가?
• RQ4 잠재력에 대해 어떤 조건을 만족할 경우 PDE의 해가 거의 확실하게 동질화된 해로 수렴하는가?
• RQ5 효과적 해밀토니안은 연속적으로 미분 가능한가, 그리고 해밀토니안과 잠재력의 매개변수에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 효과적 해밀토니안 Hβ,c(θ)는 잠재력 βV 내에서 브라운 운동의 기울인 자유 에너지로 명시적으로 주어지며, 이는 과정의 법칙을 통해 비명시적이지만 잘 정의되어 있다.
• 거의 모든 실현값 ω에 대해, ε→0일 때 해 uεθ(t,x,ω)는 (t,x)에서 컴acts 위에서 Hβ,c(θ)t + θx로 거의 확실하게 수렴한다.
• 일반화된 수렴 결과를 통해 초기 조건 g∈UC(R)에 대해 모든 경우에 대해 동질화 극한이 성립한다.
• Λβ(θ)>β인 영역에서 θ에 대해 효과적 해밀토니안은 연속적으로 미분 가능하며, 대칭적이다: Λβ(−θ)=Λβ(θ), 그리고 Λβ(0)=β이다.
• 지수적 순간의 점근적 성장률은 제어된 확산 과정에 대한 하한으로 특성화되며, c>0일 경우 최적 제어는 번개-번개 형태이다.
• 증명은 교정자의 구성과 지수 마팅갈의 사용에 기반하여, 확률적 제어 표현 내에서 점근적으로 최적의 정책을 식별한다.