[논문 리뷰] Homogenization of a Dirichlet semilinear elliptic problem with a strong singularity at $u=0$ in a domain with many small holes

Daniela Giachetti, Pedro J. Martínez−Aparicio외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 26.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 많은 작은 구멍이 있는 도메인에서 $u=0$에서 강한 특이성을 가진 비선형 타원형 딜리클레 문제의 균질화를 수립한다. 저자들은 $H^1_{\text{loc}}(\Omega_\varepsilon)$에 속하지만 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$에 속하지 않는 해를 다루기 위해 전치법을 기반으로 한 새로운 해 개념을 도입하고, 균질화된 극한 방정식이 왼쪽 항에 '이상한 항' $\mu u_0$를 유지하면서 오른쪽 항의 소스 항 $F(x, u_0)$는 그대로 유지됨을 증명한다.

ABSTRACT

We perform the homogenization of the semilinear elliptic problem \\begin{equation*} \\begin{cases} u^\\varepsilon \\geq 0 & \\mbox{in} \\; \\Omega^\\varepsilon,\\\\ \\displaystyle - div \\,A(x) D u^\\varepsilon = F(x,u^\\varepsilon) & \\mbox{in} \\; \\Omega^\\varepsilon,\\\\ u^\\varepsilon = 0 & \\mbox{on} \\; \\partial \\Omega^\\varepsilon.\\\\ \\end{cases} \\end{equation*} In this problem $F(x,s)$ is a Carath\\'eodory function such that $0 \\leq F(x,s) \\leq h(x)/\\Gamma(s)$ a.e. $x\\in\\Omega$ for every $s > 0$, with $h$ in some $L^r(\\Omega)$ and $\\Gamma$ a $C^1([0, +\\infty[)$ function such that $\\Gamma(0) = 0$ and $\\Gamma'(s) > 0$ for every $s > 0$. On the other hand the open sets $\\Omega^\\varepsilon$ are obtained by removing many small holes from a fixed open set $\\Omega$ in such a way that a "strange term" $\\mu u^0$ appears in the limit equation in the case where the function $F(x,s)$ depends only on $x$. We already treated this problem in the case of a "mild singularity", namely in the case where the function $F(x,s)$ satisfies $0 \\leq F(x,s) \\leq h(x) (\\frac 1s + 1)$. In this case the solution $u^\\varepsilon$ to the problem belongs to $H^1_0 (\\Omega^\\varepsilon)$ and its definition is a "natural" and rather usual one. In the general case where $F(x,s)$ exhibits a "strong singularity" at $u = 0$, which is the purpose of the present paper, the solution $u^\\varepsilon$ to the problem only belongs to $H_{\ iny loc}^1(\\Omega^\\varepsilon)$ but in general does not belongs to $H^1_0 (\\Omega^\\varepsilon)$ any more, even if $u^\\varepsilon$ vanishes on $\\partial\\Omega^\\varepsilon$ in some sense. Therefore we introduced a new notion of solution (in the spirit of the solutions defined by transposition) for problems with a strong singularity. This definition allowed us to obtain existence, stability and uniqueness results.

연구 동기 및 목표

• 강한 특이성이 $u=0$에 존재하는 많은 작은 구멍이 있는 도메인에서 비선형 타원형 문제의 균질화를 다루는 것.
• 강한 특이성으로 인해 해가 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$에 속하지 않는 경우, $H^1_{\text{loc}}(\Omega_\varepsilon)$에 속하는 해를 다룰 수 있는 새로운 해 개념을 정의하는 것.
• 균질화된 극한 방정식이 왼쪽 항에 '이상한 항' $\mu u_0$를 가지며 오른쪽 항의 소스 항 $F(x, u_0)$는 그대로 유지됨을 증명하는 것.
• 새로운 정의 하에서 해의 존재성, 안정성, 유일성을 확립하고, 해 $u_\varepsilon$가 균질화된 해 $u_0$로 수렴함을 증명하는 것.

제안 방법

• 강한 특이성을 가진 문제에 대해 전치법을 통한 새로운 해 개념을 도입하며, $F(x,s)$가 $0 \leq F(x,s) \leq h(x)/\Gamma(s)$를 만족하고 $\Gamma(0)=0$, $\Gamma' > 0$임을 가정한다.
• 특이성 구조에 적합한 공간 $V(\Omega_\varepsilon)$에 속하는 시험 함수를 정의하여 약한 수렴성과 균질화 과정에서의 안정성을 확보한다.
• 특이성 행동을 다루고 수렴 추정을 가능하게 하기 위해 시험 함수 $w_\varepsilon$의 변종인 수열 $z_\varepsilon$를 구성한다.
• 해 $u_\varepsilon$가 $u=0$ 근처와 다공성 영역에서의 행동을 제어하기 위해 $L^\infty$ 및 $H^1_{\text{loc}}$에서의 사전 평가를 사용한다.
• 보완된 컴팩턴스 방법과 $L^1(\Omega)$에서 $\chi_{\Omega_\varepsilon}$의 강한 수렴을 적용하여 유동과 이상한 항 $\mu$의 극한을 식별한다.
• 특히 $Z_\delta(u_\varepsilon)$와 $1 - Z_\delta(u_\varepsilon)$를 포함하는 항에 대해 르베그의 수렴정리와 파투의 보조정리를 사용하여 약한 표현식에서 극한을 취한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해가 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$에 속하지 않는 비선형 타원형 문제에 대해 $u=0$에서 강한 특이성이 존재할 경우, 어떻게 해를 정의할 수 있는가?
• RQ2 많은 작은 구멍이 있는 다공성 영역에서 강한 특이성이 존재하는 비선형 타원형 문제의 균질화된 극한은 무엇인가?
• RQ3 소스 항 $F(x, u_\varepsilon)$가 $u=0$에서 특이성이 존재할 경우, '이상한 항' $\mu u_0$가 여전히 균질화된 방정식에 나타나는가?
• RQ4 새로운 전치 기반 해 개념 하에서 이러한 특이성 문제에 대해 존재성, 안정성, 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ5 $F(x, u_\varepsilon)$가 $u=0$ 근처에서의 행동이 균질화 과정과 극한 방정식에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 균질화된 극한 방정정식은 왼쪽 항에 '이상한 항' $\mu u_0$를 유지하며, $\mu$는 구멍들의 점근적 기억에서 유래한 $H^{-1}(\Omega)$에 속하는 유계 비음수 측도이다.
• 오른쪽 항의 소스 항 $F(x, u_0)$는 $u=0$에서의 강한 특이성에도 불구하고 균질화된 방정식에서 그대로 유지된다.
• 원래 문제의 해 $u_\varepsilon$는 $H^1_{\text{loc}}(\Omega_\varepsilon)$에 속하지만 $H^1_0(\Omega_\varepsilon)$에 속하지 않으며, 이는 전치 기반의 새로운 해 개념이 필요함을 시사한다.
• $u_\varepsilon$가 $u_0$로 수렴하는 것은 $L^1(\Omega)$ 및 $\Omega$ 거의 모든 곳에서 성립하며, $u_0$는 전치 의미에서 균질화된 방정식을 만족한다.
• 극한 $u_0$는 모든 시험 함수 $v$에 대해 $\int_{\Omega \cap \{u_0 = 0\}} F(x, u_0) v = 0$를 만족하며, 이는 특이성과 전치 프레임워크의 직접적인 결과이다.
• 증명은 $Z_\delta(u_\varepsilon)$와 $1 - Z_\delta(u_\varepsilon)$를 포함한 정교한 추정에 기반하며, $\delta \to 0$으로 갈 때 파투의 보조정리와 수렴정리를 사용하여 극한을 취한다.