[논문 리뷰] Homogenization of a transmission problem with Hamilton-Jacobi equations and a two-scale interface. Effective transmission conditions

Yves Achdou, Nicoletta Tchou|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 06.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 29인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 가지 척도의 진동하는 경계를 가진 전송 문제에서 해밀턴-자코비 방정식의 균질화를 다룬다. 여기서 경계의 진폭은 $\varepsilon$이고 주기는 $\varepsilon^2$이다. $\varepsilon \to 0$일 때, 값 함수는 평탄한 경계 $\Gamma$로 분리된 두 반평면에서 해밀턴-자코비 방정식의 해로 수렴하며, 소실되는 진동의 기억을 포함하는 효과적인 전송 조건이 $\Gamma$ 상에서 유도된다. 이는 점성 해법 기법과 진동하는 해밀턴ian의 점근적 분석을 통해 유도된다.

ABSTRACT

We consider a family of optimal control problems in the plane with dynamics and running costs possibly discontinuous across a two-scale oscillatory interface. Typically, the amplitude of the oscillations is of the order of $\\epsilon$ while the period is of the order of $\\epsilon$ 2. As $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0, the interfaces tend to a straight line $\\Gamma$. We study the asymptotic behavior of the value function as $\\epsilon$ $\ ightarrow$ 0. We prove that the value function tends to the solution of Hamilton-Jacobi equations in the two half-planes limited by $\\Gamma$, with an effective transmission condition on $\\Gamma$ keeping track of the oscillations.

연구 동기 및 목표

• 두 가지 척도의 진동하는 경계를 가진 2차원 최적 제어 문제에서 불연속적인 운동 방정식과 보상 비용을 가진 값 함수의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 평탄한 경계 $\Gamma$로 분리된 두 반평면에서 해밀턴-자코비 방정식의 시스템으로서의 극한 문제를 기술하는 것.
• 진폭이 $\varepsilon$이고 주기가 $\varepsilon^2$인 경계의 소멸하는 진동에서 유래된 정보를 유지하는 효과적인 전송 조건을 유도하는 것.
• 이전의 동일한 척도의 진동($\varepsilon$의 진폭과 주기)에 대한 균질화 결과를 주기와 진폭이 $\varepsilon^2$인 특별한 섭동 영역으로 확장하는 것.
• PDE 이론에서의 비교 원리와 시험 함수 기법을 활용하여 값 함수가 효과 문제의 점성 해로 수렴함을 증명하는 것.

제안 방법

• 진동하는 경계에서 전송 조건이 있는 해밀턴-자코비 방정식에 대한 점성 해법 이론의 적용.
• Imbert와 Monneau(2018)의 영감을 받은, 경계에서의 전송 조건을 다루기 위한 축소된 시험 함수 집합의 적용.
• $\varepsilon \to 0$의 점근적 분석에서, 경계가 평탄한 직선 $\Gamma$로 수렴하며, 진동은 $\varepsilon$와 $\varepsilon^2$로 스케일링된다.
• 접합점 근처의 행동에 기반하여, 보정자(correctors)를 구성하고, 에르고딕 타입의 추론을 사용하여 경계에서의 효과적 해밀턴ian을 도출하는 것.
• 경계에서 단일 시험 함수를 사용하여, [19, 18]의 기법을 따르며, 경계에서의 혼합 조건이 없는 상황을 다루는 것.
• 균일한 기울기 유계성과 해밀턴ian의 정칙성에 기반한, 연속성의 모듈러스 추정과 모순 추론을 사용한 수렴 증명

실험 결과

연구 질문

• RQ1 값 함수가 진폭 $\varepsilon$와 주기 $\varepsilon^2$를 가진 경계를 가진 최적 제어 문제에서 $\varepsilon \to 0$일 때 어떻게 행동하는가?
• RQ2 소멸하는 두 가지 척도의 진동을 반영하는 평탄한 경계 $\Gamma$ 상의 효과적인 전송 조건은 무엇인가?
• RQ3 경계에서 다이내믹스의 혼합이 허용되지 않는 조건에서, 값 함수가 두 반평면에서 해밀턴-자코비 시스템의 해로 수렴하는가를 어떻게 확보할 수 있는가?
• RQ4 효과적인 전송 조건은 다이내믹스, 보상 비용, 그리고 진동 경계의 기하학적 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 등각 변환으로 경계를 평탄하게 만들 수 없는 상황에서, 이에 대응하기 위해 필요한 기법은 무엇인가?

주요 결과

• 값 함수는 평탄한 경계 $\Gamma$로 분리된 각 반평면에서 점성 해로 국소 균일하게 수렴한다.
• 경계 $\Gamma$ 상의 효과적인 전송 조건은 진동 데이터의 극한으로 도출되며, 다이내믹스, 보상 비용, 그리고 경계의 이중 척도 구조에 따라 달라진다.
• 효과적인 전송 조건는 경계 근처의 점근적 행동에서 유도된 균질화된 해밀턴ian을 통해 진동의 기억을 유지한다.
• 수렴 증명은 원래 문제에 대한 비교 원리와 해밀턴ian 및 기울기 유계성에 기반한 균일 연속성 추정을 사용한 모순 추론에 의존한다.
• 효과적인 전송 조건는 진동 세포 문제와 관련된 에르고딕 상수의 극한을 통해 기술되며, 네트워크의 접합 문제와 유사하다.
• 이 방법은 [3]의 이전 결과를 주기와 진폭이 $\varepsilon^2$인 특별한 섭동 영역으로 확장하며, 경계를 변환으로 평탄화할 수 없기 때문에 새로운 분석 도구가 필요로 한다.