[논문 리뷰] Homogenization of Green and Neumann Functions

Carlos E. Kenig, Fanghua Lin외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 06.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 빠르게 진동하는 주기적 계수를 가진 두 번째 순서 타원 연산자와 관련된 그린 함수와 뉴먼 함수에 대한 날카운 점근 전개와 수렴 속도를 수립한다. 딜리클레 및 뉴먼 보정자(정규화자)를 사용하여, 딜리클레 또는 뉴먼 경계 조건을 만족하는 해에 대해 최적의 $W^{1,p}$ 수렴 속도를 도출하며, 그린 함수와 뉴먼 함수에 대해 $O(\varepsilon)$ 추정을 제공하고, $C^{2,\eta}$ 영역에서 그들의 기울기에는 $O(\varepsilon \ln(\varepsilon^{-1}|x-y|+2))$ bound를 제공한다.

ABSTRACT

For a family of second-order elliptic operators with rapidly oscillating periodic coefficients, we study the asymptotic behavior of the Green and Neumann functions, using Dirichlet and Neumann correctors. As a result we obtain asymptotic expansions of Poisson kernels and the Dirichlet-to-Neumann maps as well as near optimal convergence rates in $W^{1,p}$ for solutions with Dirichlet or Neumann boundary conditions.

연구 동기 및 목표

• 빠르게 진동하는 주기적 계수를 가진 타원 연산자에 대해 $\varepsilon \to 0$일 때 그린 함수와 뉴먼 함수의 점근적 행동을 분석하는 것.
• 딜리클레 또는 뉴먼 경계 조건을 만족하는 해에 대해 최적의 $W^{1,p}$ 수렴 속도를 수립하는 것.
• 보정자 함수를 사용하여 포아송 핵과 딜리클레-에서-뉴먼 맵의 점근 전개를 유도하는 것.
• 영역의 정(regularity)과 $\varepsilon$에 따라 이질성과 동질화된 그린 및 뉴먼 함수 사이의 오차를 정량화하는 것.

제안 방법

• 영역 $\Omega$ 내부에서 $\mathcal{L}_{\varepsilon}(\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta}) = 0$를 만족하고, 경계에서 $\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta} = P_j^\beta$인 딜리클레 보정자 $\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta}$를 도입한다.
• 영역 $\Omega$ 내부에서 $\mathcal{L}_{\varepsilon}(\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}) = 0$를 만족하고, 경계에서 법선 도함수 $\partial/\partial\nu_\varepsilon(\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}) = \partial/\partial\nu_0(P_j^\beta)$인 뉴먼 보정자 $\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}$를 도입한다.
• 보정자를 사용하여 $G_\varepsilon(x,y)$와 $N_\varepsilon(x,y)$의 점근 전개를 구성하며, 이를 $G_0(x,y)$에 보정항 $\Phi_{\varepsilon,j}^{\beta}$ 및 $\Psi_{\varepsilon,j}^{\beta}$를 포함한 형태로 표현한다.
• 가중치 $L^p$ 추정과 카르레손 측도 바OUNDS를 적용하여 전개에서 오차 항을 제어한다.
• 쌍대성과 그린 공식을 사용하여 딜리클레-에서-뉴먼 맵 $\Lambda$를 포함하는 교환자(commutator)를 추정하며, 이는 기울기 오차를 제어하는 데 핵심적이다.
• 나타난 함수의 최고차항을 제어하기 위해 달베르그, 케니그 등이 제공한 비접선 최대 함수와 BMO 노름에 대한 알려진 추정에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빠르게 진동하는 타원 연산자에 대한 그린 및 뉴먼 함수는 $\varepsilon \to 0$일 때 어떻게 동질화된 대응체로 수렴하는가?
• RQ2 딜리클레 또는 뉴먼 경계 조건을 만족하는 해에 대해 $W^{1,p}$ 수렴 속도의 최적 비율은 무엇인가?
• RQ3 보정자 함수를 어떻게 사용하여 그린 및 뉴먼 함수와 그 기울기의 점근 전개를 구성할 수 있는가?
• RQ4 영역의 정(regularity)($C^{1,1}$ 대비 $C^{2,\eta}$)과 대칭성($A^* = A$)은 수렴 속도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 동질화의 맥락에서 $[\Lambda, x_i]$의 날카운 $L^p$ 추정을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모양이 $C^{1,1}$인 영역에서는 $|G_\varepsilon(x,y) - G_0(x,y)| \leq C\varepsilon / |x-y|^{d-1}$를 만족하며, 그린 함수에 대해 $O(\varepsilon)$ 수렴을 확립한다.
• 모양이 $C^{2,\eta}$인 영역에서는 그린 함수의 기울기에 대해 $\left|\partial_{x_i}G_\varepsilon^{\alpha\beta} - \partial_{x_i}\Phi_{\varepsilon,j}^{\alpha\gamma} \cdot \partial_{x_j}G_0^{\gamma\beta}\right| \leq C\varepsilon \ln(\varepsilon^{-1}|x-y|+2)/|x-y|^d$를 만족한다.
• 대칭성($A^* = A$)이 성립할 경우, $C^{1,1}$ 영역에서 뉴먼 함수에 대해 $|N_\varepsilon(x,y) - N_0(x,y)| \leq C\varepsilon \ln(\varepsilon^{-1}|x-y|+2)/|x-y|^{d-1}$를 만족한다.
• $C^{2,\eta}$ 영역 및 $t \in (0,1)$에 대해, 뉴먼 함수의 기울기에 대해 $\left|\partial_{x_i}N_\varepsilon^{\alpha\beta} - \partial_{x_i}\Psi_{\varepsilon,j}^{\alpha\gamma} \cdot \partial_{x_j}N_0^{\gamma\beta}\right| \leq C_t \varepsilon^t \ln(\varepsilon^{-1}M+2)/|x-y|^{d-1+t}$를 만족한다.
• 결과적으로, $1 < p \leq \infty$에 대해 딜리클레 또는 뉴먼 데이터를 가진 해에 대해 $L^p(\Omega)$에서 $O(\varepsilon)$ 수렴이 성립한다.
• 논문은 기울기 오차를 제어하는 데 필수적인 핵심 교환자 추정 $\|\Lambda(fg) - f\Lambda(g)\|_{L^2(\partial\Omega)} \leq C\|f\|_{H^1(\partial\Omega)}\|g\|_{L^\infty(\partial\Omega)}$을 증명한다.