[논문 리뷰] Homogenization of initial boundary value problems for parabolic systems with periodic coefficients

Yu. M. Meshkova, T. A. Suslina|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 19.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 내에서 주기적 계수를 가진 포아송 시스템의 동질화에 대해 날카운 오차 추정치를 수립한다. 반정적 반응에 대해 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $가 동질화된 반응 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $로 수렴함을 보이며, $ L^2 $-오ператор 노름에서 $ O(\varepsilon) $ 오차로 수렴하고, 고정된 $ t > 0 $ 에 대해 보정자 항을 포함한 $ O(\varepsilon^{1/2}) $ 근사가 $ (L^2 \to H^1) $-노름에서 성립한다. 이 결과들은 포아송 시스템에 대한 초기 경계값 문제에 적용된다.

ABSTRACT

Let $\mathcal{O} \subset \mathbb{R}^d$ be a bounded domain of class $C^{1,1}$. In the Hilbert space $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, we consider matrix elliptic second order differential operators $\mathcal{A}_{D,\varepsilon}$ and $\mathcal{A}_{N,\varepsilon}$ with the Dirichlet or Neumann boundary condition on $\partial \mathcal{O}$, respectively. Here $\varepsilon>0$ is the small parameter. The coefficients of the operators are periodic and depend on $\mathbf{x}/\varepsilon$. The behavior of the operator $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$, $†=D,N$, for small $\varepsilon$ is studied. It is shown that, for fixed $t>0$, the operator $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ converges in the $L_2$-operator norm to $e^{-\mathcal{A}_†^0 t}$, as $\varepsilon o 0$. Here $\mathcal{A}_†^0$ is the effective operator with constant coefficients. For the norm of the difference of the operators $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ and $e^{-\mathcal{A}_†^0 t}$ a sharp order estimate (of order $O(\varepsilon)$) is obtained. Also, we find approximation for the exponential $e^{-\mathcal{A}_{†,\varepsilon}t}$ in the $(L_2 ightarrow H^1)$-norm with error estimate of order $O(\varepsilon ^{1/2})$; in this approximation, a corrector is taken into account. The results are applied to homogenization of solutions of initial boundary value problems for parabolic systems.

연구 동기 및 목표

• 유계 도메인에서 주기적 계수를 가진 포아송 시스템의 동질화를 연구한다.
• 반응 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $가 그 동질화된 극한 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $로 수렴하는 오차 추정치를 오차 노름 기반으로 수립한다.
• 고정된 $ t > 0 $ 에 대해 $ L^2 $- 및 $ H^1 $-오차 노름에서 날카운 오차 추정치를 유도한다.
• 보정자 항을 포함시켜 $ (L^2 \to H^1) $-노름 오차 추정치의 정밀도를 향상시킨다.
• 결과들을 주기적 계수를 가진 포아송 시스템의 초기 경계값 문제에 대한 동질화에 적용한다.

제안 방법

• 스케일링, 플로케트-블로흐 이론 및 해석적 섭동 이론을 기반으로 한 동질화의 연산자 이론적 접근법 사용.
• $ \mathbf{x}/\varepsilon $ 에 따라 변화하는 주기적 계수를 가진 행렬 타입의 이阶 미분 연산자 $ \mathcal{A}_{D,\varepsilon} $ 및 $ \mathcal{A}_{N,\varepsilon} $ 분석.
• 해석적 방법과 고유값 이론을 사용하여 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 반응 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 의 수렴 추정치 유도.
• $ (L^2 \to H^1) $-노름 근사의 정밀도를 향상시키기 위해 보정자 항 $ \varepsilon \mathcal{K}(t;\varepsilon) $ 구성.
• 도메인 $ \mathcal{O} $ 내에서 경계 효과를 제어하기 위해 컷오프 함수와 분할 단위를 적용하여 국소화된 추정치 제어.
• 가중치 $ L^2 $-노름과 보간 기법을 사용하여 해와 그 도함수의 정규성 제어.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반응 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 가 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 $ L^2 $-오차 노름에서 동질화된 극한 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ 로 수렴하는 방식은 어떻게 되는가?
• RQ2 반응 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 를 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ 로 근사할 때 $ L^2 $-오차 노름에서의 정확한 오차 순서는 무엇인가?
• RQ3 보정자 항이 $ (L^2 \to H^1) $-노름 수렴 속도를 향상시킬 수 있으며, 만약 그렇다면 최적의 오차 한계는 무엇인가?
• RQ4 오차 추정치는 시간 매개변수 $ t $ 에 따라 어떻게 달라지며, 작은 $ t $ 에서의 행동은 어떠한가?
• RQ5 이 결과들은 포아송 시스템의 초기 경계값 문제에 대해 어느 정도 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 반응 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} $ 는 $ \varepsilon \to 0 $ 일 때 $ L^2 $-오차 노름에서 $ e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t} $ 로 수렴하며 오차 한계가 $ O(\varepsilon) $ 순서이다.
• $ \|e^{-\mathcal{A}_{\dagger,\varepsilon}t} - e^{-\mathcal{A}_{\dagger}^{0}t}\|_{L^2 \to L^2} $ 에 대해 날카운 $ O(\varepsilon) $ 오차 추정치가 수립되었으며, 이는 순서적으로 날카롭고 $ t > 0 $ 에 대해 일관된 것으로서 시간에 관계없이 일정하다.
• $ \varepsilon^{1/2} $ 오차 한계를 가진 보정자 항을 포함한 근사가 $ t \geq \varepsilon^2 $ 에서 $ (L^2 \to H^1) $-노름에서 성립한다.
• 보정자 항 $ \varepsilon \mathcal{K}(t;\varepsilon) $ 는 명시적으로 구성되었으며, $ \mathbf{x}/\varepsilon $ 의 급격히 진동하는 함수에 의존한다.
• 오차 추정치는 시간에 대해 일관되며, 도메인 기하학, 타원성 상수, 계수 행렬의 $ L^\infty $-노름에 명시적으로 의존한다.
• 결과들은 주기적 계수를 가진 포아송 시스템의 초기 경계값 문제의 해 동질화에 적용된다.