[논문 리뷰] Homogenization of random convolution energies in heterogeneous and perforated domains

Andrea Braides, Andrey Piatnitski|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 15.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 37인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이질적이고 다공성 영역에서의 무작위 컨볼루션 에너지에 대해 동질화 정리를 수립하며, 거의 확실한 $Γ$-수렴을 통해 결정론적 2차 딜레르흐 유형 함수로 수렴함을 증명한다. 극한 기능의 적분자 함수는 하위가소적 과정에서 유도된 점근적 공식을 통해 특징지어지며, 정규성과 정(stationarity) 조건 하에 국소 동질화 기법을 비국소적이고 점근적으로 국소적인 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We prove a homogenization theorem for a class of quadratic convolution energies with random coefficients. Under suitably stated hypotheses of ergodicity and stationarity we prove that the $Γ$-limit of such energy is almost surely a deterministic quadratic Dirichlet-type integral functional, whose integrand can be characterized through an asymptotic formula. The proof of this characterization relies on results on the asymptotic behaviour of subadditive processes. The proof of the limit theorem uses a blow-up technique common for local energies, that can be extended to this `asymptotically-local' case. As a particular application we derive a homogenization theorem on random perforated domains.

연구 동기 및 목표

• 이종성과 다공성이 있는 영역에서 정규성과 정(stationarity)을 갖는 계수를 가진 무작위 컨볼루션 에너지에 대한 $Γ$-극한을 수립하기 위해.
• 하위가소적 과정에서 유도된 점근적 공식을 사용하여 동질화된 에너지 밀도를 특징짓기 위해.
• 일반적으로 국소 에너지에 사용되는 블로업 기법을 비국소적이고 점근적으로 국소적인 컨볼루션 함수에 확장하기 위해.
• 상호작용이 랜덤 연결 성분 내에서만 발생하는 랜덤 다공성 영역에 정의된 에너지에 대한 동질화 결과를 도출하기 위해.
• 이러한 랜덤 에너지의 $Γ$-극한이 거의 확실하게 결정론적이고 2차 딜레르흐 유형 적분 함수 기능으로 수렴함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 스케일링된 컨볼루션 에너지의 극한을 분석하기 위해 $L^2(D)$ 위상에서 $Γ$-수렴을 활용한다.
• 비국소 에너지에 적합하게 조정된 블로업 기법을 사용하여 점근적으로 국소적인 구조를 활용한다.
• 큰 척도 평균을 포함하는 이중 척도 극한을 통해 하위가소적 과정 이론을 활용해 동질화된 에너지 밀도를 특징짓는다.
• 환경의 정규성과 정(stationarity)을 모델링하기 위해 확률 공간 위의 랜덤 동역계 $(\tau_x)$ 를 사용한다.
• 에너지가 다공성 영역에서 제어 가능하도록, 에너지 상한선을 통제하는 방식으로 함수를 전체 영역으로 확장하는 확장 정리(정리 7.2)를 적용한다.
• 경계층 두께가 $K$인 큰 큐브 $Q_R$ 위에서 변분 공식을 통해 동질화 행렬 $A_{\text{hom}}$ 를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규성과 정(stationarity)을 갖는 계수를 가진 무작위 컨볼루션 에너지가 이종성 영역에서 $Γ$-극한은 무엇인가요?
• RQ2 상호작용 커널이 비국소적이며 매질이 랜덤일 경우, 동질화된 에너지 밀도는 어떻게 특징지어질 수 있나요?
• RQ3 일반적으로 국소 에너지에 사용되는 블로업 방법은 비국소적이고 랜덤 계수를 갖는 컨볼루션 에너지로 확장될 수 있나요?
• RQ4 상호작용이 연결 성분 내에서만 제한되는 랜덤 다공성 영역에 정의된 에너지의 동질화 극한은 무엇인가요?
• RQ5 이러한 랜덤 에너지의 $Γ$-극한이 거의 확실하게 결정론적이고 2차 딜레르흐 유형 함수 기능으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• 에너지 함수 $F^{\omega}_{\varepsilon}(u)$ 의 $Γ$-극한은 $H^1(D)$ 위에서 거의 확실하게 결정론적 2차 딜레르흐 유형 적분 함수 기능이다.
• 동질화된 에너지 밀도는 행렬 $A_{\text{hom}}$ 으로 특징지어지며, 그 이차형식은 $\langle A_{\text{hom}}z,z\rangle = \lim_{K\to\infty}\lim_{R\to\infty}\frac{1}{R^d}\inf\left\{\int_{Q_R\cap E^{\omega}}\int_{E^{\omega}}a(x-y)(v(x)-v(y))^2\,dx\,dy : v(x)=\langle z,x\rangle \text{ near }\partial Q_R \right\}$ 로 주어진다.
• 정규성과 정(stationarity) 조건으로 인해 극한은 거의 확실하게 랜덤 실현 $\omega$ 에 영향을 받지 않는다.
• 랜덤 다공성 영역에서의 에너지는 균일한 확장 추정치(정리 7.2)를 만족하며, 에너지 증가가 제어 가능한 전체 영역으로의 확장을 통해 제어 가능하다.
• 적분 가능성 조건 $\int_{\mathbb{R}^d} a(\xi)(1+|\xi|^2)\,d\xi < \infty$ 과 하한 조건 $a(\xi) \geq c > 0$ for $|\xi| \leq r_0$ 하에서 동질화 결과가 성립한다.
• 수렴은 $L^2(D)$ 위상에서 성립하며, 극한 함수 기능은 $H^1(D)$ 위에서 연속적이고 강한 조건을 갖는다.