[논문 리뷰] Homogenization Techniques for Periodic Structures

Sébastien Guenneau, Richard V. Craster외 3명|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 28.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 55인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 광결정 및 메타물질과 같은 주기적 구조물에 대해 고전적, 고주파수, 고대비 homogenization 기법을 제시한다. 이러한 방법들은 효과적인 물성, 예를 들어 인공 자성 및 음의 굴절률을 도출할 수 있게 하여, 피크세계 주기성을 가진 주기적 격자에서 초점화 렌즈 및 투명성 코팅과 같은 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this chapter we describe a selection of mathematical techniques and results that suggest interesting links between the theory of gratings and the theory of homogenization, including a brief introduction to the latter. By no means do we purport to imply that homogenization theory is an exclusive method for studying gratings, neither do we hope to be exhaustive in our choice of topics within the subject of homogenization. Our preferences here are motivated most of all by our own latest research, and by our outlook to the future interactions between these two subjects. We have also attempted, in what follows, to contrast the "classical" homogenization (Section 11.1.2), which is well suited for the description of composites as we have known them since their advent until about a decade ago, and the "non-standard" approaches, high-frequency homogenization (Section 11.2) and high-contrast homogenization (Section 11.3), which have been developing in close relation to the study of photonic crystals and metamaterials, which exhibit properties unseen in conventional composite media, such as negative refraction allowing for super-lensing through a flat heterogeneous lens, and cloaking, which considerably reduces the scattering by finite size objects (invisibility) in certain frequency range. These novel electromagnetic paradigms have renewed the interest of physicists and applied mathematicians alike in the theory of gratings.

연구 동기 및 목표

• 주기적 미세구조를 위한 수학적 프레임워크를 개발하여 격자 이론과 homogenization 이론을 연결한다.
• 기존 가정이 실패하는 고대비 또는 고주파수 영역에서 고전적 homogenization의 한계를 해결한다.
• 점진적 및 스펙트럼 방법을 통해 주기적 복합체에서 인공 자성 및 음의 굴절률을 예측할 수 있도록 한다.
• 메타물질과 광결정에서 효과적인 전자기적 거동을 모델링하기 위한 엄밀한 수학적 도구를 제공한다.
• 해결책 수열의 컴actness가 실패하는 비표준 영역으로 homogenization을 확장하여 새로운 물리적 현상을 가능하게 한다.

제안 방법

• 작은 주기성 η → 0을 갖는 주기적 미디어에 대한 효과적 방정식을 유도하기 위해 다중 척도 점진적 전개를 사용한다.
• 스칼라 및 횡전자파에 대해 고주파수 homogenization을 적용하여 밴드 갭 구조와 공진 행동을 포착한다.
• 주기적 구조에서의 극한 문제를 분석하기 위해 이중 척도 수렴 및 주기적 전개 방법을 적용한다.
• 셀 문제의 스펙트럼 분석을 통해 Kirchhoff-Love 플레이트 및 전자기파에 대한 효과적 방정식을 유도한다.
• Zhikov의 프레임워크를 통해 고대비 homogenization을 도입하여 강한 허용도 대비를 갖는 시스템을 모델링한다.
• 유닛 세포에서 홀수 (n,m) 모드에 대한 고유함수 전개를 사용하고, 식 (11.44)를 통해 μ_hom(k)를 산출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 homogenization는 주기적 미세구조 섬유 및 일차원 격자 구조를 기술하기 위해 어떻게 수정될 수 있는가?
• RQ2 고대비 주기적 복합체의 효과적인 전자기적 물성은 무엇이며, 이는 어떻게 음의 굴절률을 초래하는가?
• RQ3 주기적 격자에서 인공 자성이 나타나는 주파수 영역는 어디이며, 어떻게 정량화되는가?
• RQ4 고주파수 homogenization는 주기적 구조물의 밴드 갭 행동과 공진 모드를 어떻게 포착하는가?
• RQ5 homogenization 기법은 주기적 메타물질에서 초점화 렌즈 및 코팅 효과를 얼마나 정확히 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 相대 허용도 100이고 측면 길이 a = 0.5d인 포함체의 정사각형 배열에서, 주파수 영역 [0.432, 0.534] 동안 효과적 자성 μ_hom(k)이 음의 값을 가지며, 이는 음의 굴절률을 가능하게 한다.
• 식 (11.44)로 주어진 효과적 자성을 갖는 동질화 방정식 (11.40)은 초점화 렌즈를 예측한다: ω = 0.473에서 시간 조화 소스가 정사각형 배열의 포함체를 통해 집중된 영상을 생성한다.
• 고대비 동질화 모델에서 불등식 (11.43)에 따라 ω = 0 근처에 저주파수 밴드 갭이 열리며, 이는 고전적 모델과를 구별한다.
• 고차원 동질화 분석은 대부분의 주기적 격자가 파장이 주기성과 유사할 경우 인공 자성 및 초성질을 나타냄을 드러낸다.
• 효과적 매질 기술이 컴팩트성 보상 또는 이중 척도 수렴 기법을 적용하지 않으면 고대비 영역에서 붕괴됨을 보여준다.
• 식 (11.44)를 통한 μ_hom(k)의 수치 계산은 공진 근처에서 음의 효과적 자성을 확인하여 초점화 렌즈 응용에 대한 이론적 예측을 검증한다.