[논문 리뷰] Homological algebra of semimodules and semicontramodules: Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures

Leonid Positselski|2007. 08. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 25인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 결합 대수적 구조물 위에서 반모듈 및 반대모듈에 대한 호몰로지 대수의 프레임워크를 개발하며, 반무한 호몰로지와 코호몰로지를 일반화하기 위해 유도 함수 SemiTor 및 SemiExt 를 도입한다. 주요 기여는 기저 코링과 반대수의 적절한 평탄성 및 프로젝티브 조건 하에서 반모듈과 반대모듈의 이국적 유도 범주 간의 동치를 확립하는 것이다.

ABSTRACT

We develop the basic constructions of homological algebra in the (appropriately defined) unbounded derived categories of modules over algebras over coalgebras over noncommutative rings (which we call semialgebras over corings). We define double-sided derived functors SemiTor and SemiExt of the functors of semitensor product and semihomomorphisms, and construct an equivalence between the exotic derived categories of semimodules and semicontramodules. Certain (co)flatness and/or (co)projectivity conditions have to be imposed on the coring and semialgebra to make the module categories abelian (and the cotensor product associative). Besides, for a number of technical reasons we mostly have to assume that the basic ring has a finite homological dimension (no such assumptions about the coring and semialgebra are made). In the final sections we construct model category structures on the categories of complexes of semi(contra)modules, and develop relative nonhomogeneous Koszul duality theory for filtered semialgebras and quasi-differential corings. Our motivating examples come from the semi-infinite cohomology theory. Comparison with the semi-infinite (co)homology of Tate Lie algebras and graded associative algebras is established in appendices, and the semi-infinite homology of a locally compact topological group relative to an open profinite subgroup is defined. An application to the correspondence between complexes of representations of an infinite-dimensional Lie algebra on the complementary central charge levels ($c$ and $26-c$ for the Virasoro) is worked out.

연구 동기 및 목표

• 결합 대수적 구조물 위에서 반모듈과 반대모듈에 대한 호몰로지 대수의 프레임워크를 체계화하기.
• 반무한 호몰로지와 코호몰로지의 일반화로서 이중 유도 함수 SemiTor 및 SemiExt 를 정의하고 연구하기.
• 기저 코링과 반대수의 (공)평탄성 및 (공)프로젝티브 조건 하에서 반모듈과 반대모듈의 이국적 유도 범주 간 동치를 확립하기.
• 필터링된 반대수와 준미분 코링에 대한 상대 비동차 코시쿠르-델타 이론을 개발하기.
• 테이트 리 대수, 그레디에이티드 결합 대수, 열린 프로파피니트 부분군을 갖는 국소적으로 컴팩트 군의 맥락에서 반무한 코호몰로지의 통합된 대수적 기초를 제공하기.

제안 방법

• 코링 위에서 이중코모듈의 텐서 범주 안의 링 대상으로서 반대수를 정의하기.
• 반대수 위의 오른쪽 및 왼쪽 반모듈 간에 반텐서 곱과 반호모모르피즘 함수를 도입하기.
• 반텐서 곱과 반호모모르피즘 함수의 총 왼쪽 및 오른쪽 유도 함수로서 유도 함수 SemiTor 및 SemiExt 를 구성하기.
• 코링과 반대수의 평탄성 및 프로젝티브 조건 하에서, 코모듈-코트라모듈 대응을 기반으로 한 유도 동치를 확립하기.
• 반모듈과 반대모듈의 복합체 범주에 모델 범주 구조를 구성하여 호모토피론적 대수를 지원하기.
• 프레임워크를 상대 비동차 코시쿠르-델타 이론에 적용하며, 특히 필터링된 반대수와 준미분 코링에 대해 적용하고, 테이트 리 대수와 군 코호몰로지에 응용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반무한 호몰로지와 코호몰로지는 어떻게 통합된 호몰로지 대수의 프레임워크에서系통적으로 유도될 수 있는가?
• RQ2 코링과 반대수가 어떤 조건을 만족해야 반모듈과 반대모듈의 범주가 아벨 범주가 되고, 반텐서 곱이 결합법칙을 만족하는가?
• RQ3 반모듈과 반대모듈의 유도 범주 간의 정확한 관계는 무엇이며, 어떤 조건에서 이 동치가 성립하는가?
• RQ4 열린 프로파피니트 부분군에 대한 국소적으로 컴팩트 위상군의 반무한 코호몰로지는 어떻게 대수적으로 정의되고 계산될 수 있는가?
• RQ5 제안된 비동차 코시쿠르-델타 이론은 전통적인 필터링된 대수와 미분 코링에 대한 이론을 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 이중 유도 함수인 SemiTor 는 반무한 호몰로지의 결합 대수적 유사체로 간주되며, 아르히포프와 세보스타노프의 구성들을 일반화한다.
• 유도 함수인 SemiExt 는 코호몰로지적 대응을 제공하며, 결합 설정에서 반무한 코호몰로지를 실현한다.
• 반대수가 코링 위에서 코모듈로서의 정수성 조건을 만족할 경우, 반모듈과 반대모듈의 이국적 유도 범주 간의 동치가 확립된다.
• 코링과 반대수의 (공)평탄성 및 (공)프로젝티브 조건 하에서, 코모듈-코트라모듈 대응이 범주 간 동치임을 증명하였다.
• 반모듈과 반대모듈의 복합체 범주에 모델 범주 구조를 구성하여 호모토피론적 방법을 가능하게 하였다.
• 이 프레임워크는 열린 프로파피니트 부분군에 대한 국소적으로 컴팩트 위상군에 대한 반무한 호몰로지의 정의를 제공하며, 문헌에 알려진 결과와의 비교를 가능하게 하였다.