[논문 리뷰] Homological Description of the Quantum Adiabatic Evolution With a View Toward Quantum Computations

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 01.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 27인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 모로 이론과 미분기하학을 활용하여 양자 아디아바틱 진화를 위한 새로운 위상적 프레임워크를 제안한다. 여기서 해밀토니안에서 유도된 코버디즘의 특이호모로지가 아디아바틱 진화를 지배함을 보여준다. 주요 기여는 p-spin 모델에서의 양자 상전이를 비판점의 호모토피 변형과 가우스-보네 정리에 의한 곡률 재분배와 연결함으로써, 비스투오케이스터릭 상호작용이 비판점 쌍의 증가와 곡률의 분산을 통해 일阶 전이를 억제함을 설명한다.

ABSTRACT

We import the tools of Morse theory to study quantum adiabatic evolution, the core mechanism in adiabatic quantum computations (AQC). AQC is computationally equivalent to the (pre-eminent paradigm) of the Gate model but less error-prone, so it is ideally suitable to practically tackle a large number of important applications. AQC remains, however, poorly understood theoretically and its mathematical underpinnings are yet to be satisfactorily identified. Through Morse theory, we bring a novel perspective that we expect will open the door for using such mathematics in the realm of quantum computations, providing a secure foundation for AQC. Here we show that the singular homology of a certain cobordism, which we construct from the given Hamiltonian, defines the adiabatic evolution. Our result is based on E. Witten's construction for Morse homology that was derived in the very different context of supersymmetric quantum mechanics. We investigate how such topological description, in conjunction with Gauß-Bonnet theorem and curvature based reformulation of Morse lemma, can be an obstruction to any computational advantage in AQC. We also explore Conley theory, for the sake of completeness, in advance of any known practical Hamiltonian of interest. We conclude with the instructive case of the ferromagnetic $p-$spin where we show that changing its first order quantum transition (QPT) into a second order QPT, by adding non-stoquastic couplings, amounts to homotopically deform the initial surface accompanied with birth of pairs of critical points. Their number reaches its maximum when the system is fully non-stoquastic. In parallel, the total Gaussian curvature gets redistributed (by the Gauß--Bonnet theorem) around the new neighbouring critical points, which weakens the severity of the QPT.

연구 동기 및 목표

• 현재 실용적 이점은 있지만 깊은 이론적 기반을 갖추지 못한 아디아바틱 양자 계산(AQC)의 엄밀한 수학적 기초를 확립하기 위해.
• 특히 모로 이론과 미분기하학을 포함한 위상적 및 기하학적 구조가 유한차원 양자 시스템에서 아디아바틱 진화를 어떻게 묘사하고 측정할 수 있는지 조사하기 위해.
• 비판점, 기울기 흐름, 곡률이 AQC 해밀토니안의 계산 효율성과 상전이 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는지 분석하기 위해.
• 비스투오케이스터릭 외부장이 에너지 표면의 위상과 곡률을 수정함으로써 양자 상전이의 성격을 어떻게 변화시키는지 탐구하기 위해.
• 일계 전이에서 이계 전이로의 전이가 비판점 쌍의 생성과 곡률 재분포를 유도하는 호모토피에 의해 발생함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 해밀토니안으로부터 코버디즘을 구성하고, 이의 특이호모로지가 모로 이론에 의해 아디아바틱 진화를 기술함을 보장한다.
• 초대칭 양자역학에서 유도된 E. 위튼의 모로 호모로지 구성법을 응용하여, 모로 함수의 비판점 사이의 흐름으로서 진화를 모델링한다.
• 가우스-보네 정리를 활용하여 총 가우스 곡률을 올리에르 특성수와 연결하고, 비판점 주변의 곡률 재분포를 분석한다.
• 지역 기하학적 지연을 측정하기 위해 두피 인디카트리스와 형상 연산자를 사용한다.
• p-spin 해밀토니안에 비스투오케이스터릭 매개변수 $ b $ 를 도입하여 스토쿠아스티시티를 제어하고, 그 영향이 비판점의 구조와 상전이의 차수에 어떻게 작용하는지 연구한다.
• 비퇴화된 경우를 분석하기 위해 콘리 이론을 활용하여 프레임워크의 위상적 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 시스템에서의 양자 아디아바틱 진화의 전반적인 위상적 구조를 묘사하기 위해 모로 이론을 어떻게 적용할 수 있는가?
• RQ2 아디아바틱 진화에서 지연 요인의 기하학적 근원은 무엇이며, 이를 미분기하학을 통해 어떻게 정량화할 수 있는가?
• RQ3 비스투오케이스터릭 상호작용을 추가함으로써 p-spin 모델의 비판점 구조와 상전이의 차수는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 가우스-보네 정리에 의해 제약을 받는 곡률 재분포가 일계 양자 상전이의 억제를 얼마나 잘 설명하는가?
• RQ5 일계에서 이계 상전이로의 전이가 비판점 쌍 생성을 수반하는 에너지 표면의 호모토피로 이해될 수 있는가?

주요 결과

• 해밀토니안에서 유도된 코버디즘의 특이호모로지가 양자 아디아바틱 진화를 완전히 기술하며, 이 과정에 대한 위상적 불변량을 제공한다.
• 가우스-보네 정리에 따르면 총 가우스 곡률은 일정하지만, 호모토피 과정에서 비판점의 생성 또는 소멸에 따라 분포가 변화한다.
• p ≠ 2 인 페로자성 p-spin 모델에서, b = 1(스토쿠아스터릭)일 때 일계 상전이가 b → 0 일 때 이계 상전이로 전환되며, 이는 비판점 쌍의 생성 때문임을 확인하였다.
• 비판점의 수는 b = 0일 때 최대에 도달하며, 이는 시스템이 완전히 비스투오케이스터릭일 때이며, 이 증가와 곡률 재분포가 상전이의 심각도를 완화시키는 데 관련되어 있다.
• 모든 b ∈ ℝ 에 대해 올리에르 특성수 $ \chi = -7 $ 이 유지되며, 이는 에너지 표면의 급격한 변화에도 불구하고 위상적 안정성을 확인한다.
• 사다리형 근처에서 아디아바틱 진화의 지연 요인은 형상 연산자와 두피 인디카트리스와 정량적으로 연결되어 있으며, 이는 진화 저하의 기하학적 척도를 제공한다.