[논문 리뷰] Homological properties of representations of p-adic groups related to geometry of the group at infinity

Roman Bezrukavnikov|ArXiv.org|2004. 06. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 11인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 p-진군의 미분가능 표현의 유도 범주에서의 호모로지 이중성과 딜레뉴-루스티그 함수자와 그로텐디크-세르 이중성의 합성 사이의 표준적 이somorphism을, 브라하트-티스 빌딩 위의 G-등변 층과 보렐-세르 콪actification을 통해 임의의 군의자와 자코벳 함수자 사이의 새로운 함자에 의해 연결하는 방법을 사용하여 수립한다. 또한 칸잔의 추측을 증명하며, Yoneda Ext 군의 오일러 특성수를 타원적 공轭류에 대한 특성 곱의 적분으로 표현한다.

ABSTRACT

Geometry of buildings is used to prove some homological properties of the category of smooth representations of a reductive p-adic group (Kazhdan's "pairing conjecture", Bernstein's description of homological duality in terms of Deligne-Lusztig duality). A different proof had been obtained a little earlier by Schneider and Stuhler.

연구 동기 및 목표

• 미분가능 G-모듈러스에서의 호모로지 이중성과 딜레뉴-루스티그 함수자와 그로텐디크-세르 이중성의 합성 사이의 표준적 이somorphism을 수립하는 것.
• 임의의 표현 사이의 Yoneda Ext 군의 오일러 특성수를 타원적 공轭류에 대한 특성 곱의 적분으로 표현하는 칸잔의 추측을 증명하는 것.
• 부드러운 표현의 반대 범주에 대한 함자 L을 구성하여, 보렐-세르 콩팩티피케이션 하에서 G-등변 층의 직접 이미지의 경계 제한을 실현하는 것.
• 빌딩 위의 층 이론적 국소화와 빌딩 위의 버드리어 이중성에 의한 표현의 기하학적 및 호모로지적 구조를 명확히 하는 것.

제안 방법

• j: X → X̄ 가 보렐-세르 콩팩티피케이션이고 i: ∂X → X̄ 가 경계 포함일 때, 정확한 함자 L: M^opp → Sh_G(∂X) 를 구성하여 i*∘j_*^G ≅ L∘Γ 를 만족시키는 것.
• 유도된 함자인 컴act 지지 섹션의 유도함수 RΓ_c 와 버드리어 이중성 RΓ 을 사용하여 빌딩 X 위의 층 코homology 를 미분가능 G-모듈러스의 유도 범주와 연결하는 것.
• 경계점 y ∈ ∂X 에서 L(M) 의 스토크가 P_y (y 의 안정화자) 에 대해 자코벳 함수자 r_{P_y}(M) 와 이somorphic 임을 증명하는 것.
• 일반적인 추상 논리적 국소화 기법을 적용하여, 임의의 B ∈ D^b(M) 과 정수 i 에 대해 A ∈ D^b(S𝔥) 와 RΓ_c(A) → B 가 존재하여 j > i 인 코homology H^j 에 대해 동형을 유도하는 것.
• 베르너스타인-베즈루카비니크 이중성 이somorphism D_h ≅ DL∘D_Gr 을 사용하는 것. 여기서 D_h 는 호모로지 이중성, D_Gr 은 그로텐디크-세르 이중성이다.
• 하리쉬-찬드라의 특성의 적분 가능성과 불변 일반화된 함수수를 사용하여 오일러 특성수를 정규 타원적 및 비타원적 집합에 대한 적분으로 줄이고, 비타원적 부분에서는 중심이 비콤팩트일 경우 호모로지적 추론을 통해 0이 됨을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분가능 G-모듈러스에서의 호모로지 이중성과 딜레뉴-루스티그 함수자와 그로텐디크-세르 이중성의 합성 사이에 표준적 이somorphism 이 존재하는가?
• RQ2 임의의 표현 사이의 Yoneda Ext 군의 오일러 특성수는 타원적 공轭류에 대한 특성 곱의 적분으로 표현될 수 있는가?
• RQ3 보렐-세르 콩팩티피케이션의 빌딩 경계는 표현의 자코벳 함수자와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 빌딩 위의 G-등변 층과 미분가능 표현의 유도 범주 사이의 정확한 함자적 관계는 무엇인가?
• RQ5 비타원적 집합에서의 특성 적분이 0이면, 중심이 비콤팩트인 경우 Ext 군의 0이 되는가?

주요 결과

• 논문은 미분가능 G-모듈러스의 유도 범주에서 호모로지 이중성과 딜레뉴-루스티그 및 그로텐디크-세르 이중성의 합성 사이의 표준적 이somorphism D_h ≅ DL∘D_Gr 을 수립한다.
• G-등변 단순형 층의 직접 이미지의 보렐-세르 경계에 대한 제한은, 그 층의 전역 섹션에 L 을 적용한 것과 이somorphic 임을 증명한다.
• 함자 L 이 정확하고, 각 경계점에서 안정화자 파라보릭 P_y 가 결정하는 자코벳 모듈러스 r_{P_y}(M) 를 취하는 것으로 밝혀졌다.
• 두 개의 임의의 표현 사이의 Ext 군의 오일러 특성수는 ∫_Ell χ_ρ₁(g⁻¹)χ_ρ₂(g) dμ(g) 로 주어지며, 이는 칸잔의 추측을 증명한다.
• 정규 비타원적 원소에 지지된 임의의 불변 일반화된 함수수에 대해, 임의의 미분가능 표현의 특성과의 적분은 0이 되며, 이는 오일러 특성수의 비타원적 기여를 제거하는 데 사용된다.
• G 가 비콤팩트 중심을 가질 경우, 임의의 미분가능 표현의 그로텐디크 군 K^0(M) 에서의 동치류는 0이 되며, 이는 이러한 표현들에 대해 Ext 차원의 교대 합이 0이 됨을 암시한다.