[논문 리뷰] Homology and manifolds with corners

Edmundo Castillo, Rafael Díaz|ArXiv.org|2006. 11. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단순체 사슬 모델의 한계를 극복하기 위해 모서리가 있는 컴acts된 온전한 다양체에서의 매핑을 사용하여 매끄러운 다양체의 호몰로지에 대한 새로운 체인 모델을 제안한다. 이 모델은 사슬 수준에서 교차곱을 기하학적으로 자연스럽게 정의할 수 있게 하며, 스트링 토폴로지와 호모토피 양자장이론을 일반화하는 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We define a model for the homology of manifolds and use it to describe the intersection product on the homology of compact oriented manifolds and to define homological quantum field theories which generalizes the notions of string topology introduced by Chas and Sullivan and homotopy quantum field theories introduced by Turaev.

연구 동기 및 목표

• 비단순체적 영역이 곱과 원상에 존재함으로써 고전적 단순체 사슬 모델로 사슬 수준에서 교차곱을 정의하는 데 어려움이 있음.
• 모서리가 있는 다양체를 사슬 영역으로 사용하여 곱과 대각선 원상 영역의 삼등분에 의한 조합적 장애를 극복함.
• 컴팩트한 온전한 모서리가 있는 다양체에서의 매끄러운 매핑을 기반으로 한 호몰로지 이론을 개발하여, 특수 호몰로지와의 동형성을 보장함.
• 이 새로운 사슬 모델을 통해 스트링 토폴로지와 호모토피 양자장이론을 일반화하는 호몰로지 양자장이론(HLQFT)을 구축함.
• 호모토피 양자장이론의 구성이 방향을 유지하는 미오모르피즘에 대해 함의론적으로 일관되게 유지됨을 보장함.

제안 방법

• 사슬 복합체 $ C(M) = \bigoplus_{i=0}^\flat C_i(M) $ 를 정의하며, 여기서 $ C_i(M) $ 는 $ K $ 가 모서리가 있는 컴팩트한 온전한 다양체이고 $ c: K \to M $ 가 매끄럽고, 방향성과 분리된 합집합 관계에 대해 모듈로된 자유 벡터 공간의 몫이다.
• 미분 $ \partial(K, c) = \sum_{L \in \pi_0(\partial_1 K)} (\overline{L}, c|_{\overline{L}}) $ 를 정의하며, 여기서 첫 번째 경계 스트라타와 그에 따라 유도된 방향성을 사용한다.
• 모서리가 있는 다양체의 카르테시안 곱을 사용하여 $ c \times d: K \times L \to M \times M $ 를 정의하며, 이는 새로운 모델에서 유효한 사슬이 된다.
• 교차곱 $ c \cap d $ 는 교차하는 사슬에 대해 $ ((c \times d)^{-1}(\Delta_M), c \circ \pi) $ 로 정의되며, 여기서 $ \pi $ 는 원상 부분 다양체에서의 사영이고, 이는 모서리가 있는 다양체이다.
• 함수자 $ \mathrm{H}: \mathrm{Cob}_{d,r}^M \to \mathrm{vect} $ 를 통해 제한된 호몰로지 양자장이론(HLQFT)을 구성하며, 객체에 대해 $ \mathrm{H}(N, f, <) = \mathrm{H}(\overline{N}) $ 를 정의하고, 사상에 대해 사상 공간을 따라 당김을 사용한다.
• 할당 $ M \mapsto \mathrm{HLQFT}_d(M) $ 가 방향을 유지하는 미오모르피즘에 대해 반대 범주를 통해 함의론적임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비단순체적 영역의 삼등분 없이 기하학적으로 사슬 수준에서 교차곱을 정의할 수 있는가?
• RQ2 모서리가 있는 다양체를 기반으로 한 호몰로지 모델이 특수 호몰로지와 동형이면서 자연스러운 대수적 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 이 모델을 사용하여 스트링 토폴로지와 호모토피 양자장이론을 일반화하는 호몰로지 양자장이론을 구성할 수 있는가?
• RQ4 기저가 되는 다양체에 대한 방향을 유지하는 미오모르피즘에 대해 호몰로지 양자장이론의 함의론적 성질은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 새로운 사슬 모델을 갖춘 $ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ 에서 발생하는 대수적 구조는 무엇이며, 이는 알려진 구조들인 왜곡된 파울슨 또는 게르스텐하버 대수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모서리가 있는 다양체의 사슬 복합체 $ C(M) $ 의 호몰로지가 $ M $ 의 특수 호몰로지와 동형이며, 이 동형은 단순체를 모서리가 있는 다양체로 포함함으로써 유도된다.
• 교차하는 사슬 $ c $ 와 $ d $ 의 교차곱은 사슬 수준에서 잘 정의되어 있으며, $ ((c \times d)^{-1}(\Delta_M), c \circ \pi) $ 로 표현되며, 여기서 원상은 모서리가 있는 부분 다양체이다.
• 작은 $ d $ 차원 디스크의 작용자 $ \mathrm{H}(D_d) $ 는 $ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ 에 작용하며, $ d $ 가 짝수이냐 홀수이냐에 따라 $ \mathrm{H}(M^{S^d}) $ 가 미분 가능한 왜곡된 파울슨 또는 게르스텐하버 대수의 구조를 지닌다는 기존 결과를 복원한다.
• 함수자 $ \mathrm{H} $ 를 통해 제한된 호몰로지 양자장이론 $ \mathrm{HLQFT}_{d,r}(M) $ 가 구성되며, 이는 코버디즘에 호몰로지 군을 할당하고, 당김을 통해 선형 사상을 할당한다.
• 할당 $ M \mapsto \mathrm{HLQFT}_d(M) $ 는 방향을 유지하는 컴팩트한 온전한 다양체와 그들의 미오모르피즘의 반대 범주에서 함의론적임을 보이며, $ \varphi_* $ 를 따라 함수자의 당김을 통해 유도된다.
• $ \mathrm{HLQFT}_d(M) $ 는 범주 $ \mathrm{Cob}_d^M $ 에서 벡터 공간의 범주로의 단순함수의 범주로 정의되며, 이는 $ M $ 에서의 HLQFT에 대한 체계적인 프레임워크를 제공한다.