[논문 리뷰] Homology theory valued in the category of bicommutative Hopf algebras

Minkyu Kim|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 체 $k$ 위의 이중구성 호프 대수의 아벨 범주에 값이 있는 일반화된 호프 이론을 구축하며, 군 호프 대수나 함수 호프 대수로부터 유도되지 않는 비자명한 예를 제시한다. 주요 결과 두 가지를 확립한다: (1) 임의의 이중구성 호프 대수 계수를 가진 일반 호프 이론이 존재하며, (2) 체 작용이 있는 호프 대수로부터 지수 함수자료를 통해 초일반 호프 이론이 유도되며, 이는 Dijkgraaf-Witten 및 Turaev-Viro TQFT를 엄밀히 일반화한다.

ABSTRACT

The codomain category of a generalized homology theory is the category of modules over a ring. For an abelian category A, an A-valued (generalized) homology theory is defined by formally replacing the category of modules with the category A. It is known that the category of bicommutative (i.e. commutative and cocommutative) Hopf algebras over a field k is an abelian category. Denote the category by H. In this paper, we give some ways to construct H-valued homology theories. As a main result, we give H-valued homology theories whose coefficients are neither group Hopf algebras nor function Hopf algebras. The examples contain not only ordinary homology theories but also extraordinary ones.

연구 동기 및 목표

• 체 $k$ 위의 이중구성 호프 대수의 아벨 범주에 값이 있는 일반화된 호프 이론을 개발하는 것.
• 군 또는 함수 호프 대수로부터 유도되지 않는 비자명한 $Ση$-값을 가진 호프 이론을 구축하는 것.
• 체 $\mathbb{F}_3$ 및 $\mathbb{F}_9$와 같은 체 위에서 유한 차원, 단순, 이중구성 호프 대수의 비자명한 구조를 제공하는 것.
• 호프 대수 값 호프 이론으로부터 위상적 양자장이론(TQFT)을 구성하는 프레임워크를 확장하는 것.
• 대수적으로 닫힌 체인 $\mathbb{C}$와 같이, 모든 그러한 호프 이론이 자명해지는 이유를 밝히며, 이는 체의 의존성에 대한 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 일반화된 호프 이론의 공도메인을 $\mathsf{Mod}_R$에서 체 $k$ 위의 이중구성 호프 대수의 아벨 범주 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$로 공식적으로 대체한다.
• 군 호프 대수 함자로 자명한 호프 이론을 구성하며, 이는 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-값을 가진다지만, 구조적으로는 새로운 것이 아니다.
• 임의의 이중구성 호프 대수 $A$에 대해 계수를 가진 일반 호프 이론 $H_\bullet(-;A)$를 구성하고, 임의의 $A$에 대해 존재성을 증명한다.
• 이중구성 호프 대수 $A$가 $L$-작용을 가진다는 조건 하에, $\mathsf{Vec}^{\mathsf{fin}}_L$-값을 가진 호프 이론을 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-값을 가진 것으로 올리는 데 지수 함수자료를 활용한다.
• 구성의 코멀티플리케이션, 코유니트, 역원 함수 공식을 사용하여 $\mathbb{F}_3$ 위에서 기저 대수 $\mathbb{F}_3 \oplus \mathbb{F}_9 \oplus \mathbb{F}_9$를 가진 비자명한 이중구성 호프 대수를 명시적으로 구성한다.
• 정규화된 적분 $\sigma_{D_1} = a$와 정규화된 코적분 $\sigma^{D_1} = -\delta_a + \delta_{b_1} + \delta_{c_1}$의 존재를 통해 단순성과 코단순성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 $k$ 위의 이중구성 호프 대수의 범주에 값이 있는 일반화된 호프 이론을 구성할 수 있는가?
• RQ2 군 또는 함수 호프 대수로부터 유도되지 않는 비자명한 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-값을 가진 호프 이론이 존재하는가?
• RQ3 유한체 위에서 이중구성 호프 대수가 단순하고 코단순해지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 호프 대수에 대한 체 작용은 지수 함수자료를 통해 초일반 호프 이론을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 왜 $k = \mathbb{C}$일 때 모든 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-값을 가진 호프 이론이 자명해지는가? 이는 TQFT 구성에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 체 $k$ 위의 임의의 이중구성 호프 대수 $A$에 대해, $E_\bullet(-) = H_\bullet(-;A)$인 일반 호프 이론이 존재하며, $E_0(\mathrm{pt}) \cong A$를 만족한다. 이 이론은 $A$가 군 또는 함수 호프 대수가 아닐 경우 비자명하다.
• $k = \mathbb{F}_3$일 때, $\mathbb{F}_3 \oplus \mathbb{F}_9 \oplus \mathbb{F}_9$ 위에 두 개의 서로 동형이 아닌 이중구성 호프 대수 구조 $D_1$와 $D_2$를 구성하였으며, 둘 다 단순하고 코단순하다. $\dim_k D_1 = 3 + 9 + 9 = 21$이다.
• $D_1$은 유일한 군적 원소 $\eta$만을 가지며, 그 쌍대는 유일한 군적 원소 $\epsilon$만을 가지므로, 이는 군 호프 대수가 아님을 증명한다.
• 정규화된 적분 $\sigma_{D_1} = a$와 정규화된 코적분 $\sigma^{D_1} = -\delta_a + \delta_{b_1} + \delta_{c_1}$는 $D_1$이 동시에 단순하고 코단순하다는 것을 확인한다.
• 지수 함수자료를 통한 구성은 $\mathsf{Vec}^{\mathsf{fin}}_L$-값을 가진 호프 이론 $F_\bullet$로부터 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-값을 가진 호프 이론 $(A,\alpha)^{F\bullet}$를 유도하며, 이 이론이 일반적인 경우는 $F_\bullet$가 일반적일 때에만 성립한다. 이는 $\dim_k A > 1$일 때 성립한다.
• 대수적으로 닫힌 체인 $\mathbb{C}$에서는 모든 $\mathsf{Hopf}^{\mathsf{bicom}}_k$-값을 가진 호프 이론이 자명하며, 이는 오직 군 또는 함수 호프 대수로부터 유도된 것들뿐임을 의미한다.