[논문 리뷰] Homomorphic encryption from codes

Andrej Bogdanov, Chin Ho Lee|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 18.

Cryptography and Data Security참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 메시지를 암호화 변환의 애핀 부분에 통합하면서 노이즈는 보안을 위해만 사용하는 새로운 코드 기반 동형 암호화 체계를 제안한다. 래티스 기반 체계와는 달리, 암호문의 점별 덧셈과 곱셈을 통해 프로토-동형 연산을 달성하며, 암호화 오차를 관리하기 위한 두 가지 새로운 오차 처리 기법을 도입하여 효율적인 부트스트랩핑과 청결한 보안 프레임워크를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We propose a new homomorphic encryption scheme based on the hardness of decoding under independent random noise from certain affine families of codes. Unlike in previous lattice-based homomorphic encryption schemes, where the message is hidden in the noisy part of the ciphertext, our scheme carries the message in the affine part of the transformation and applies noise only to achieve security. Our scheme can tolerate noise of arbitrary magnitude, as long as the noise vector has sufficiently small hamming weight (and its entries are independent). Our design achieves "proto-homomorphic" properties in an elementary manner: message addition and multiplication are emulated by pointwise addition and multiplication of the ciphertext vectors. Moreover, the extremely simple nature of our decryption makes the scheme easily amenable to bootstrapping. However, some complications are caused by the inherent presence of noticeable encryption error. Our main technical contribution is the development of two new techniques for handling this error in the homomorphic evaluation process. We also provide a definitional framework for homomorphic encryption that may be useful elsewhere.

연구 동기 및 목표

• 메시지를 노이즈에 숨기는 대신 애فين 성분에 통합하는 방식으로, 기존 래티스 기반 접근과 근본적으로 다름을 보이는 코드 기반 암호화 체계를 개발하는 것.
• 암호문 벡터에 대한 간단한 점별 연산을 통해 덧셈과 곱셈의 프로토-동형 성질을 실현하는 것.
• 동형 평가 중에 발생하는 암호화 오차를 관리하기 위한 두 가지 새로운 기술적 기법을 개발하여, 이에 기반한 오차 관리 문제를 해결하는 것.
• 복잡도가 낮은 복호화 과정 덕분에 효율적인 부트스트랩핑을 달성하는 것. 이는 완전 동형 암호화에 필수적이다.
• 다른 암호 구조에 재사용 가능한 일반화된 동형 암호화 정의 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 본 체계는 비밀 키 (S, M) 와 공개 키 P = MR로 정의된 애핀 변환을 사용한다. 여기서 M은 무작위 필드 원소로 구성되며, 부분집합 S에 속하는지 여부에 따라 구조화된다.
• 암호화는 Px + m·1 + e를 계산하여 수행되며, 여기서 m은 메시지, 1은 전부 1로 이루어진 벡터, e는 F_q 상의 독립적인 분포에서 추출된 노이즈 벡터이다.
• 복호화는 F_q 상에서 S에 속하는 인덱스만 포함하는 s/3 + 1개의 선형 방정식을 풀어 메시지를 복구한다. 이때 바르멘드 행렬의 구조를 활용하여 해의 존재를 보장한다.
• 부트스트랩핑을 지원하기 위해 길이를 유지하는 재암호화 회로를 활용하며, 보안은 키 쌍 간의 독립성에 기반한다.
• 암호화 오차를 다루기 위해 암호문을 k번 반복하고 암호화 및 복호화 단계에서 다수결 투표를 수행함으로써 오차 확률을 2^{-Ω(k)}로 감소시킨다.
• 동형 평가는 기본 체계의 여러 인스턴스를 조합하는 템플릿을 통해 달성되며, 점별 연산과 보조 회로를 사용해 오차 하에서의 정확성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메시지를 노이즈에 숨기는 대신 코드 기반 변환의 애فين 부분에 인코딩하는 동형 암호화 체계를 설계할 수 있는가?
• RQ2 코드 기반 환경에서 암호문에 대한 간단한 점별 연산을 통해 동형 덧셈과 곱셈을 어떻게 실현할 수 있는가?
• RQ3 이러한 체계에서 동형 평가 중에 발생하는 암호화 오차를 관리하고 억제하기 위해 어떤 기법이 필요한가?
• RQ4 복호화 과정의 단순성 덕분에 코드 기반 동형 암호화 시스템에서 효율적인 부트스트랩핑을 달성할 수 있는가?
• RQ5 이 특정 구현을 넘어 일반화되고 재사용 가능한 동형 암호화 정의 프레임워크를 개발할 수 있는가?

주요 결과

• 암호문의 점별 덧셈과 곱셈을 통해 프로토-동형 성질을 달성하여 기본적인 회로의 동형 평가가 가능하다.
• 암호문을 k번 반복하고 다수결 투표를 적용함으로써 암호화 오차를 2^{-Ω(k)}로 감소시켜 신뢰할 수 있는 동형 평가를 가능하게 한다.
• 깊이-d 회로를 평가하기 위한 키 길이는 O(dkn)이며, 여기서 n은 보안 매개변수이고, 설정 오차는 d·2^{-Ω(k)}이다.
• 기본 코드 기반 체계의 보안이 확보된 조건 하에, 체계는 (s(n^{0.1}) - dk·poly(n), O(dkn^{1.8}ε(n^{0.1}))) - 메시지 불구분성 성질을 만족한다.
• 복호화 과정은 매우 효율적이며, 단순한 선형 대수학적 구조 덕분에 부트스트랩핑에 적합하다.
• 저자들은 동형 평가 중 암호화 오차를 다루기 위해 두 가지 새로운 기법을 도입하였으며, 이는 체계의 정확성과 보안에 핵심적인 역할을 한다.