[논문 리뷰] Homomorphisms of abelian varieties over finite fields

Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 아벨 다양체에 대한 테이트의 정리들을 유한 군 스킴을 사용하여 통합적이고 자립적인 증명을 제공한다. 프로베누스 추종자나 딜레옹 모듈을 사용하지 않고, 모든 소수 $\ell$에 대해, 포함하여 $\ell = p$일 경우에도, 두 아벨 다양체가 동치일 조건을 밝혀내며, 동치가 아닌 타원곡선의 구체적 예를 제시한다.

ABSTRACT

These are notes of my lectures at the summer school "Higher-dimensional geometry over finite fields" in Goettingen, June--July 2007. We present a proof of Tate's theorem on homomorphisms of abelian varieties over finite fields (including the $\ell=p$ case) that is based on a "quaternion trick". In fact, a a slightly stronger version of those theorems with "finite coefficients" is proven.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 아벨 다양체에 대한 테이트의 정리들에 대한 통합적이고 자립적인 증명을 제공한다.
• 모든 소수 $\ell$에 대해, 포함하여 $\ell = p$일 경우에도, 동치성과 $\ell$-가소군의 동형성 간의 동치 조건을 확립한다.
• 소수 $\ell \neq p$에 대해 프로베누스 추종자를, $\ell = p$에 대해 딜레옹 모듈을 사용하지 않고, 유한 군 스킴과 유한 계수를 사용한다.
• 모든 $\ell$에 대해 동형인 $\ell$-가소군을 가진, 동치가 아닌 타원곡선의 구체적 예를 구성한다.

제안 방법

• 유한 가환 군 스킴과 그 성질(예: 사상에 따른 상과 핵의 구조)을 사용한다.
• 유한체 위의 $\ell$-가소군(바르소티–테이트 군) 이론을 적용하며, 그 동형 유형에 집중한다.
• $n$에 대한 내분형 사상과 아벨 다양체의 유한 군 부분스킴 간의 관계를 연결하기 위해 '쿼aternion 트릭'을 사용한다.
• 중국인의 나머지 정리와 허수 정수환의 이상 이론을 사용하여, 제어된 차수를 가진 이소지니를 구성한다.
• 유한 군 부분스킴의 핵심 결과를 적용하여, 모든 $n$에 대해 $n$-토션 부분군이 동형이면 $\ell$-가소군도 동형임을 보인다.
• 토션 점의 갈루아 모듈이 동형이면, 그에 대응하는 기저 체 위의 유한 군 스킴도 동형임을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한체 위의 두 아벨 다양체가 언제 동치가 되는가?
• RQ2 모든 소수 $\ell$에 대해, 포함하여 $\ell = p$일 경우에도, 두 아벨 다양체가 $\ell$-가소군을 동형으로 가지는 조건은 무엇인가?
• RQ3 유한체 위의 동치가 아닌 타원곡선들이 모든 $\ell$에 대해 동형인 $\ell$-가소군을 가질 수 있는가?
• RQ4 프로베누스 추종자나 딜레옹 모듈을 사용하지 않고, 어떻게 테이트의 정리를 증명할 수 있는가?
• RQ5 유한 군 스킴과 유한 계수는, 유한체 위의 아벨 다양체 간의 호모모르피즘을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 유한체 위의 두 아벨 다양체는 동치일 조건이, 모든 소수 $\ell$에 대해 그들의 $\ell$-가소군이 동형일 때이다. 이는 $\ell = p$일 경우도 포함된다.
• 모든 소수 $\ell$에 대해, $\ell$에 의해 나누어지지 않는 차수를 가진 이소지니가 존재하며, 이는 동치가 아닌 타원곡선들 사이에 존재한다. 이로 인해 $\ell$-가소군이 동형이 된다.
• 유한체 위의 동치가 아닌 두 타원곡선의 $\ell$-가소군은 모든 $\ell$에 대해 동형이 될 수 있으며, 이는 $\ell = \mathrm{char}(K)$일 경우도 포함된다.
• 유한체 위의 두 아벨 다양체의 $n$-토션 부분군이 모든 $n$에 대해 동형이면, 그들의 $\ell$-가소군도 모든 $\ell$에 대해 동형이 된다.
• 유한체 위의 아벨 다양체의 $\bar{K}$-점에 대한 갈루아 모듈이 동형이면, 그들의 $\ell$-가소군도 모든 $\ell$에 대해 동형이 된다.
• 제어된 $\ell$-거듭제곱 차수를 가진 이소지니의 구성은, 클래스 수가 1이 아닌 허수 정수환의 이상 이론에 의존한다.