[논문 리뷰] Homomorphisms of hyperelliptic jacobians

Yu. G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|2003. 01. 16.

Coding theory and cryptography참고 문헌 18인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 체 위에서 정의된 초타원곡선의 jacobian 사이에 비자명한 호모모르피즘이 존재하지 않는 조건을 설정한다. 특히 갈루아 군 작용과 종속성 링 제약 조건—특히 갈루아 군이 대칭군 또는 교환군인 경우—을 이용하여 이러한 jacobian은 비이sov유적이며, 호모모르피즘 공간이 자명하다는 것을 증명한다. 핵심 기여는 갈루아 이론적 및 체 이론적 조건에 기반한 초타원곡선 jacobian 간의 호모모르피즘 소멸을 위한 일반 기준을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

In his previous papers (Math. Res. Letters 7 (2000), 123--13; Progress in Math. 195 (2001), 473--490; Math. Res. Letters 8 (2001), 429--435; Moscow Math. J. 2 (2002), issue 2, 403-431; Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), no. 1, 95--102) the author introduced certain explicit constructions of hyperelliptic jacobians without nontrivial endomorphisms. In the present paper we discuss when these jacobians are mutually non-isogenous. In addition, a special case ($n=m=3$) of our Theorem 1.2 provides the following criterion for elliptic curves $C_f: y^2=f(x)$ and $C_h: y^2=h(x)$ to be non-isogenous. (Here $f(x)$ and $h(x)$ are cubic polynomials with coefficients in a field $K$ of characteristic zero.) Suppose that $f(x)$ and $h(x)$ are irreducible over $K$, their Galois groups over $K$ coincide with the full symmetric group $S_3$, and their splitting fields are linearly disjoint over $K$. Then the elliptic curves $C_f$ and $C_h$ are non-isogenous over an algebraic closure of $K$.

연구 동기 및 목표

• 특성 ≠ 2인 체 위에서 초타원곡선의 jacobian 사이에 비자명한 호모모르피즘이 존재하지 않는 조건을 규명하는 것.
• 갈루아 군 작용과 종속성 링을 이용하여 초타원곡선 jacobian 간의 호모모르피즘 공간의 구조를 분석하는 것.
• 이전의 초타원곡선 jacobian의 종속성 링에 관한 결과를 서로 다른 jacobian 간의 호모모르피즘으로 확장하는 것.
• 일부 갈루아 군 및 체의 분리 조건을 만족할 경우 jacobian이 비이sov유적이며 호모모르피즘 공간이 자명하다는 것을 확립하는 것.

제안 방법

• 정의 다항식의 갈루아 군을 이용하여 근에 대한 작용과 분할 체의 구조를 분석한다.
• 특히 종속성 링과 호모모르피즘 군에 중점을 두어 대수적으로 닫힌 체 위의 아벨 다양체 이론을 적용한다.
• 다른 곡선들에 대한 갈루아 작용의 독립성을 확보하기 위해 분할 체가 선형적으로 분리되어 있음을 조건으로 삼는다.
• 기존의 종속성 링 결과—특히 n ≥ 5일 때 갈루아 군이 S_n 또는 A_n 이면 End(J(C_f)) = ℤ임을 활용한다 (양의 특성에서는 n ≥ 9).
• X와 Y가 이sov유적이 아니며 dim(X) ≥ dim(Y) 이고 End(X) = ℤ 이면 Hom(X,Y) = 0 임을 적용한다.
• 갈루아 군이 동일할 경우 p진 뉴턴 다각형과 분해 지수를 통한 체의 동형 조건을 활용하여 분할 체를 구별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 ≠ 2인 체 위에서 두 초타원곡선의 jacobian 사이에 비자명한 호모모르피즘이 존재하지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정의 다항식의 갈루아 군은 초타원곡선 jacobian 간의 호모모르피즘 공간의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 어떤 조건에서 두 초타원곡선 jacobian은 비이sov유적이며 호모모르피즘 공간이 자명한가?
• RQ4 분할 체의 선형적 분리성과 갈루아 군 유형(S_n 또는 A_n)을 이용하여 호모모르피즘 공간의 소멸을 보장할 수 있는가?
• RQ5 분할 체의 분해 행동은 체를 구별하고 jacobian 간의 자명한 호모모르피즘을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정의 다항식의 갈루아 군이 S_n 또는 A_n 이고 분할 체가 선형적으로 분리되어 있을 경우, Hom(J(C_f), J(C_h)) = 0 이며 Hom(J(C_h), J(C_f)) = 0 이다.
• 기약 다항식 f와 h가 각각 차수 n ≥ 5와 m ≥ 3이며 갈루아 군이 S_m 또는 A_m, S_n 또는 A_n 이고 분할 체가 선형적으로 분리되어 있을 경우, jacobian 간에 비자명한 호모모르피즘이 존재하지 않는다.
• n ≠ m 이거나 Gal(f) = S_n 이고 Gal(h) = A_m 이면, jacobian 간의 호모모르피즘 공간은 소멸하나, jacobian의 차원이 같을 수도 있다.
• ℚ 위에서 exp_n(x) = ∑_{i=0}^n x^i/i! 라고 하면, 4∤n 이면 갈루아 군은 S_n 이고, 4|n 이면 A_n 이다; n > 6 이면 y² = exp_n(x) 와 y² = f_n(x) 의 jacobian 간에 호모모르피즘 공간이 자명하다.
• 양의 특성에서 f(x) = x^n + tx + 1 과 h(x) = x^n + x + t 라고 하며, n = (q^d - 1)/(q - 1) 이면 갈루아 군은 각각 PSL(d,q) 와 PGL(d,q) 이고, (q,d) ≠ (3,4) 이면 Hom(J(C_f), J(C_h)) = 0 이다.
• K_f = K[x]/fK[x] 와 K_h = K[x]/hK[x] 는 그 정수환에서의 분해 지수가 다를 경우 서로 동형이 아니며, 이는 코로나리에 1.5에 의해 jacobian 간의 호모모르피즘 공간이 자명하다는 것을 의미한다.