[논문 리뷰] Homotopy classes of harmonic maps of the stratified 2-spheres and applications to geometric flows

Jingyi Chen, Yuxiang Li|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 13.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 에너지가 일관되게 유계인 분할된 2차원 구면에서 컴act 리만다만다이만으로의 조화 매핑이 오직 유한한 호모토피 유형에 속한다는 것을 증명한다. 이 결과는 분할된 구면에 대한 정규화 절차를 통해 도출되며, 이 유한성은 $M_1 \# M_2$의 연결합에서 조화 매핑 및 평균 곡률 흐름의 유한 시간 내에 특이점이 발생함을 보여주는 데 응용된다. 이는 $M_1 \not\cong S^3$, $M_2 \not\cong S^3, \mathbb{R}\mathbb{P}^3$일 때, 에너지가 유계인 무한히 많은 서로 호모토피가 아닌 매핑이 존재하기 때문이다.

ABSTRACT

We show that the set of harmonic maps from the 2-dimensional stratified spheres with uniformly bounded energies contains only finitely many homotopy classes. We apply this result to construct infinitely many harmonic map flows and mean curvature flows of 2-sphere in the connected sum of two closed 3-dimensional manifolds $M_1 ot=S^3$ and $M_2 ot=S^3,\R¶^3$, which must develop finite time singularity.

연구 동기 및 목표

• 분할된 2차원 구면에서 컴 pact 리만다만다이만으로의 조화 매핑 중 에너지가 일관되게 유계인 경우, 오직 유한한 호모토피 유형에만 속한다는 것을 증명하는 것.
• 기본 도메인의 위상이 다양할 때도 호모토피 유형을 체계적으로 추적할 수 있도록 $S^2$에서 분할된 구면으로의 정규화 매핑을 개발하는 것.
• 유한성 결과를 응용하여, $M_1 \# M_2$의 연결합에서의 조화 매핑 및 평균 곡률 흐름에서의 유한 시간 특이점 발생을 증명하는 것.
• $π_1(M)$ 및 $H_2$-류의 위상적 성질을 이용하여, $S^2$에서 $M_1 \# M_2$로의 무한히 많은 서로 호모토피가 아닌 매핑을 구성하는 것.
• $M_1, M_2 \neq S^3, \mathbb{R}\mathbb{P}^3$일 때, $M_1 \# M_2$의 위상이 조화 매핑 및 평균 곡률 흐름에서 유한 시간 특이점 발생을 강제함을 보여주는 것. 이는 初기 에너지 수준과 무관하게 성립한다.

제안 방법

• 블로우업 점에서 발생하는 다중 연결 영역을 특이점으로 압축하는 정규화 매핑을 $S^2$에서 분할된 구면 $\Sigma$로 도입하여, $S^2$ 기반 매핑을 통해 호모토피 추적을 가능하게 하는 것.
• Parker의 버블 트리 수렴 정리[10]를 사용하여 에너지 유계 조건 하에서 조화 매핑의 극한을 분석하고, 분할된 2차원 구면에서의 조화 매핑으로의 수렴을 보여주는 것.
• Qing-Tian의 컴팩턴스 정리[11]를 적용하여, $L^2$ 곡률장이 유계인 Palais-Smale 수열에서 목줄이 존재하지 않음을 보장하고, 이로 인해 분할된 구면에서의 조화 매핑으로의 수렴을 확보하는 것.
• 포incare 추측 및 기본군의 구조를 활용하여, $M = M_1 \# M_2$의 유비쿼터리 커버에서 임베딩된 구면의 원상의 위상을 분석하고, 특히 두 개의 경계를 가진 성분에서의 위상을 다루는 것.
• $H_2(S^2 \times (-1,1)) = \mathbb{Z}$ 내에서의 선형 독립성을 이용하여, $i \neq j$일 때 $[\gamma_i \circ \tilde{u}]_{H_2} \neq [\gamma_j \circ \tilde{u}]_{H_2}$가 되도록 하는 $\{\gamma_i\} \subset \pi_1(M)$의 수열을 구성하는 것.
• 정규화 및 호모토피 추적 기법을 사용하여, 분할된 구면에서 에너지 $\leq C$인 조화 매핑이 특정 호모토피 유형에 속하지 않을 경우, 조화 매핑 흐름이 유한 시간 내에 특이점을 발생시킨다는 것을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지가 일관되게 유계인 분할된 2차원 구면에서 컴 pact 리만다만다이만으로의 조화 매핑 집합이 오직 유한한 호모토피 유형에만 속하는가?
• RQ2 분할된 구면의 정규화가 $S^2$에서의 매핑을 통해 다양한 도메인 위상에서의 매핑 호모토피 유형을 체계적으로 추적하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 $S^2$에서 $M_1 \# M_2$로의 에너지가 유계인 무한히 많은 서로 호모토피가 아닌 매핑이 존재할 경우, 이는 $M_1 \# M_2$에서 기하학적 흐름의 유한 시간 특이점 발생을 암시하는가?
• RQ4 $M_1$과 $M_2$에 어떤 위상적 조건이 성립해야 $M = M_1 \# M_2$가 에너지가 유계인 무한히 많은 서로 호모토피가 아닌 매핑을 포함하는가?
• RQ5 에너지가 유계인 특정 호모토피 유형에서 분할된 구면에서의 조화 매핑이 존재하지 않을 경우, 이를 조화 매핑 및 평균 곡률 흐름의 유한 시간 폭발을 증명하는 데 사용할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $C > 0$에 대해, 컴 pact 리만다만다이만 $N$으로의 분할된 2차원 구면에서의 조화 매핑 중 에너지 $\leq C$인 경우, 오직 유한한 호모토피 유형에만 속한다. 이는 정리 1.1에서 증명되었다.
• $S^2$에서 분할된 구면 $\Sigma$로의 정규화 매핑이 구성되었으며, 이는 다중 연결 영역을 특이점으로 압축하고, $S^2$ 기반 매핑을 통해 $\Sigma$에서의 매핑 호모토피 유형을 추적할 수 있게 한다.
• $M_1 \not\cong S^3$, $M_2 \not\cong S^3, \mathbb{R}\mathbb{P}^3$일 때, $M = M_1 \# M_2$에 대해 에너지가 일관되게 유계이고 상호로 서로 호모토피가 아닌 이미지를 가진 무한히 많은 매끄러운 매핑 $u_k: S^2 \to M$가 존재한다. 이는 정리 5.1에서 보였다.
• 이러한 $u_k$에서 시작하는 조화 매핑 흐름은, 해당 호모토피 유형에서 조화 대표자가 존재하지 않기 때문에 유한 시간 내에 특이점을 발생시킨다.
• 유사하게, $M$로의 임베딩 $w_k: S^2 \to M$에서 면적이 일관되게 유계이고 상호로 서로 호모토피가 아닌 이미지를 가진 평균 곡률 흐름 역시 정리 1.2(B)에서 보였듯이 유한 시간 내에 특이점을 발생시킨다.
• 핵심적인 위상적 메커니즘은 $\{\gamma_i\} \subset \pi_1(M)$의 수열이 존재하여, $H_2$-류 $[\gamma_i \circ \tilde{u}]_{H_2}$가 서로 다른 쌍을 이루게 하며, 이는 에너지가 유계인 무한히 많은 서로 호모토피가 아닌 매핑이 존재하게 한다.