[논문 리뷰] Homotopy properties of endpoint maps and a theorem of Serre in subriemannian geometry

Francesco Boarotto, Antonio Lerario|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 26.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $1 < p < p_c$ 인 $W^{1,p}$ 위상에서 애핀 제어 시스템의 종점 사상이 투르에비치 필라션임을 확립한다. 여기서 $p_c = \infty$ 는 서브리만노브 경우 ($X_0 = 0$) 에 해당한다. 컴acts한 기저 다각형에서 기하학적 비용의 임계점 수가 무한함을 증명하며, 세르의 정리에 의한 무한한 수의 지오데식스의 일반화를 서브리만노브 기하학으로 확장하고, $W^{1,2}$ 위상에서 수평 루프 공간이 CW 복합체의 호모토피 유형을 가짐을 보인다.

ABSTRACT

We discuss homotopy properties of endpoint maps for affine control systems. We prove that these maps are Hurewicz fibrations with respect to some $W^{1,p}$ topology on the space of trajectories, for a certain $p&gt;1$. We study critical points of geometric costs for these affine control systems, proving that if the base manifold is compact then the number of their critical points is infinite (we use Lusternik-Schnirelmann category combined with the Hurewicz property). In the special case where the control system is subriemannian this result can be read as the corresponding version of Serre's theorem, on the existence of infinitely many geodesics between two points on a compact riemannian manifold. In the subriemannian case we show that the Hurewicz property holds for all $p\geq1$ and the horizontal-loop space with the $W^{1,2}$ topology has the homotopy type of a CW-complex (as long as the endpoint map has at least one regular value); in particular the inclusion of the horizontal-loop space in the ordinary one is a homotopy equivalence.

연구 동기 및 목표

• 애핀 제어 시스템에서 $W^{1,p}$ 위상 하에서 종점 사상의 호모토피 이론적 성질을 확립하기 위해.
• 콤팩트 리만 다각형에서의 세르의 고전적 결과인 무한한 지오데식스의 존재를 서브리만노브 환경으로 일반화하기 위해.
• 루스테르니크-슐레르만 카테고리와 투르에비치 필라션을 이용하여 수평 경로 공간 및 루프 공간의 위상을 분석하기 위해.
• 서브리만노브 경우에서 $W^{1,2}$ 위상 하에서 수평 루프 공간의 포함 사상이 전체 루프 공간에 대해 호모토피 동치임을 보여주기 위해.
• 제어 시스템의 구조에 따라 투르에비치 필라션 성질의 정규화 임계값 $p_c$ 를 특성화하기 위해.

제안 방법

• 제어 공간 $u = (u_1, ..., u_d) \in L^p([0,1], \mathbb{R}^d)$ 에서 $W^{1,p}$ 위상을 사용하여 수평 궤적 공간에 바나흐 다양체의 구조를 정의하기 위해.
• 호모토피 올림 속성에 기반하여 $1 \leq p < p_c$ 인 경우 종점 사상 $F: \Omega \to M$, $\gamma \mapsto \gamma(1)$ 이 투르에비치 필라션임을 증명하기 위해.
• 암시함수 정리와 변분 방정식에 의한 종점 사상의 선형화를 통해 $F$ 의 $C^1$-미분 가능성 증명하기 위해.
• 제어의 $L^p$-노름을 사용하여 기하학적 비용을 정의하고, 루스테르니크-슐레르만 카테고리에 의해 임계점 분석하기 위해.
• 단일성 수렴 $N_{u_n} \to N_u$ 와 약한 $L^p$ 수렴 하에서 미분 $d_uF$ 의 연속성 확보하기 위해.
• 벡터장의 미분 가능성과 궤적의 콤팩트성에 기반하여 제2변분과 흐름의 변화에 대한 균일 추정을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 궤적 공간 위의 어떤 위상에서 종점 사상이 투르에비치 필라션인가?
• RQ2 애핀 제어 시스템에서 투르에비치 필라션 성질의 임계 정규화 임계값 $p_c$ 는 무엇인가?
• RQ3 서브리만노브 경우 ($X_0 = 0$) 는 모든 $p \geq 1$ 에 대해 투르에비치 필라션 성질을 갖는가?
• RQ4 루스테르니크-슐레르만 카테고리가 콤팩트 다각형에서 기하학적 비용의 무한한 수의 임계점 존재를 증명하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 서브리만노브 경우에서 $W^{1,2}$ 위상 하에서 수평 루프 공간의 포함 사상이 전체 루프 공간에 대해 호모토피 동치인가?

주요 결과

• 종점 사상 $F: \Omega \to M$ 은 $1 \leq p < p_c$ 인 $W^{1,p}$ 위상에서 항상 투르에비치 필라션으로서 성립하며, 여기서 $p_c > 1$ 은 제어 시스템 $\mathcal{F}$ 에 따라 달라진다.
• 서브리만노브 경우 ($X_0 = 0$) 에서는 모든 $1 \leq p < \infty$ 에 대해 종점 사상이 투르에비치 필라션으로서 성립하며, 즉 $p_c = \infty$ 이다.
• 콤팩트 기저 다각형에서 기하학적 비용의 임계점 수는 무한하다. 이는 투르에비치 필라션 성질과 루스테르니크-슐레르만 카테고리의 조합을 통해 증명된다.
• 종점 사상이 적어도 하나의 정규값을 갖는다면, $W^{1,2}$ 위상에서 수평 루프 공간은 CW 복합체의 호모토피 유형을 가진다.
• 서브리만노브 경우에서 $W^{1,2}$ 위상 하에서 수평 루프 공간의 포함 사상은 전체 루프 공간에 대해 호모토피 동치이다.
• 제어의 약한 $L^p$ 수렴 하에서 종점 사상의 미분 $d_uF$ 는 연속적이며, $p > 1$ 인 경우 $F$ 는 $W^{1,p}$ 에서 $C^1$-미분 가능하다.