[논문 리뷰] Homotopy properties of spaces of smooth functions on 2-torus

Sergiy Maksymenko, Bogdan Feshchenko|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 10.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 2-토러스 위의 매끄러운 함수의 궤도의 기본군이 $\pi_1\mathcal{O}(f) \cong \mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$로 분해되는 데 충분한 조건을 확립한다. 여기서 $\mathcal{S}'(f)$는 미분형사군의 항등성분과의 교차이다. 이 결과는 임계점에서 국소적 절단이 다중인수를 가지지 않는 동차다항식과 매끄럽게 동치인 함수들에 대해 성립하며, 모스 함수를 일반화한다.

ABSTRACT

Let $f:T^2 o\mathbb{R}$ be a Morse function on a 2-torus, $\mathcal{S}(f)$ and $\mathcal{O}(f)$ be its stabilizer and orbit with respect to the right action of the group $\mathcal{D}(T^2)$ of diffeomorphisms of $T^2$, $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ be the identity path component of $\mathcal{D}(T^2)$, and $\mathcal{S}'(f) = \mathcal{S}(f) \cap \mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$. We give sufficient conditions under which $$ π_1\mathcal{O}_f(f) \ \cong \ π_1\mathcal{D}(T^2) imes π_0 \mathcal{S}'(f) \ \equiv \ \mathbb{Z}^2 imes π_0 \mathcal{S}'(f).$$ In fact this result holds for a larger class of smooth functions $f:T^2 o\mathbb{R}$ having the following property: for every critical point $z$ of $f$ the germ of $f$ at $z$ is smothly equivalent to a homogeneous polynomial $\mathbb{R}^2 o \mathbb{R}$ without multiple factors.

연구 동기 및 목표

• 매끄러운 함수 $f: T^2 \to \mathbb{R}$의 궤도 $\mathcal{O}(f)$의 기본군이 $\pi_1\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2) \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$의 곱으로 분해되는 조건을 규명하는 것.
• 특정 국소 특이점 유형을 가진 함수들에 대해, 모스 함수에 대한 기존 궤도 공간의 호모토피 유형 결과를 일반화하는 것.
• stabilizer $\mathcal{S}(f)$가 Kronrod-Reeb 그래프 $\Gamma(f)$에 작용하는 방식을 분석하고, 이를 통해 임의의 임계 수준 집합을 유지하는 동치를 구성하는 것.
• 일부 조건 하에서 $\mathcal{S}'(f)$ 내의 고리가 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 내에서 동치이므로, 궤도의 기본군 분해를 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 미분형사군 $\mathcal{D}(T^2)$에 강한 위상 $C^\infty$를 적용하고, 궤도 및 안정자에 유도된 위상을 적용하는 것.
• 함수 $f$가 $\mathcal{F}(T^2, \mathbb{R})$에 속할 경우, $p(h) = f \circ h$로 정의되는 사상 $p: \mathcal{D}(T^2) \to \mathcal{O}(f)$가 세르 필버레이션이라는 사실을 적용하는 것.
• 필버레이션과 관련된 호모토피군의 정확한 수열을 이용하여 $\pi_1\mathcal{O}_f(f)$를 $\pi_1\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 및 $\pi_0\mathcal{S}'(f)$를 통해 분석하는 것.
• stabilizer $\mathcal{S}(f)$가 Kronrod-Reeb 그래프 $\Gamma(f)$에 작용하는 방식을 이용하여, 임계 성분 근처의 미분형사군의 국소적 행동을 연구하는 것.
• 결과 [8, 정리 7.1] 및 [8, 보조정리 6.4, 4.14]를 활용하여, 임계 수준 집합의 이웃을 고정하고 그래프의 구조를 유지하는 $\mathcal{S}'(f)$ 내의 명시적 동치 $g_t$를 구성하는 것.
• 2-토러스 $T^2$와 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 사이의 호모토피 동치를 이용하여, 미분형사군 내의 고리의 동치가 없음을 2-토러스 내의 동치와 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 함수 $f: T^2 \to \mathbb{R}$의 궤도 $\mathcal{O}(f)$의 기본군이 $\mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$로 분해되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 stabilizer $\mathcal{S}(f)$가 Kronrod-Reeb 그래프 $\Gamma(f)$에 작용하는 방식은 궤도 $\mathcal{O}(f)$의 호모토피 유형에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 $\mathcal{S}'(f)$ 내의 고리가 언제 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 내에서 동치가 되는가? 이는 $\pi_1\mathcal{O}_f(f)$의 분해를 가능하게 한다.
• RQ4 임계점에서의 국소 절단 구조—특히 다중인수가 없는 동차다항식과 매끄럽게 동치일 경우—는 궤도의 호모토피 유형을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 함수 $f$가 2-토러스 위의 매끄러운 함수이고, 각 임계점에서의 국소 절단이 다중인수가 없는 동차다항식과 매끄럽게 동치일 경우, 궤도 $\mathcal{O}_f(f)$의 기본군은 $\pi_1\mathcal{O}_f(f) \cong \mathbb{Z}^2 \times \pi_0\mathcal{S}'(f)$를 만족한다.
• 이러한 함수들에 대해 안정자 $\mathcal{S}_{\mathrm{id}}(f)$는 수축 가능하다. 이는 필버레이션 $p: \mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2) \to \mathcal{O}_f(f)$의 호모토피군의 장점 정확한 수열을 적용할 수 있도록 한다.
• 임의의 $h \in \mathcal{S}'(f)$가 $\Gamma(f)$의 정점의 별에 대해 자명하게 작용할 경우, $g_0 = h$, $g_1$이 해당 임계 성분의 이웃에서 고정되고, 모든 $t$에 대해 $\rho(g_t) = \mathrm{id}$를 만족하는 $\mathcal{S}'(f)$ 내의 동치 $g_t$가 존재한다.
• 임의의 두 경로 $\{h_t\}$ 및 $\{h_t'\}$이 동일한 끝점 조건을 만족하고, 고정된 단순폐곡선 $C$를 유지한다면, 이들은 끝점을 고정한 채로 호모토피가 된다.
• 2-토러스 내의 관련 고리 $\omega_q$가 동치이면, $T^2$와 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 사이의 호모토피 동치로 인해 $\mathcal{D}_{\mathrm{id}}(T^2)$ 내의 고리 $\omega = \alpha \beta^{-1}$도 동치가 된다.
• $s(h) = [\{f \circ h_t\}]$로 정의된 사상 $s: \mathcal{S}'(f) \to \pi_1\mathcal{O}_f(f)$는 $s(h \circ h') = s(h) \circ s(h')$를 만족하는 군 준동형사상이며, 이는 궤도의 기본군이 군의 구조를 가짐을 확인한다.