[논문 리뷰] Homotopy Theoretic Classification of Symmetry Protected Phases

Jonathan A. Campbell|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 코보르드이즘 이론에서 유도된 스펙트럼을 사용하여 대칭 보호 양자 위상 상태(SPTs)의 호모토피 이론적 분류를 제공한다. 특히 $MT\text{Pin}^-$, $MT\text{Pin}^+$, 및 $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$와 같은 새로운 코보르드이즘 스펙트럼의 저차원 호모토피 군을 계산한다. 이는 물리학적 분류 결과를 대수적 위상수학을 통해 확인하며, SPT 분류에 대해 엄밀한 수학적 프레임워크를 제공함으로써 고체물리학에서의 코보르드이즘 가설을 검증한다.

ABSTRACT

We classify a number of symmetry protected phases using Freed-Hopkins' homotopy theoretic classification. Along the way we compute the low-dimensional homotopy groups of a number of novel cobordism spectra.

연구 동기 및 목표

• 호모토피 이론을 사용하여 대칭 보호 양자 위상 상태(SPTs)의 수학적으로 엄밀한 분류를 제공하는 것.
• 다양한 대칭군을 갖는 물리계에 관련된 새로운 코보르드이즘 스펙트럼의 저차원 호모토피 군을 계산하는 것.
• 코보르드이즘 가설을 통한 호모토피 이론적 분류가 기존의 물리적 분류와 일치하는지 확인하는 것.
• 프리드-호프킨스의 프레임워크를 페르미온계 및 시간역전 대칭계, 특히 $\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n$-구조를 포함하도록 확장하는 것.
• 코보르드이즘 동치류에 대한 다양체 대표의 물리적 의미를 탐색하는 것 — 대부분의 경우 아직 알려져 있지 않다.

제안 방법

• 코보르드이즘 가설을 사용하여 $MTG(n)$에서 $\Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}$로의 스펙트럼 사상으로 역전이 가능한 위상 양자장이론(TQFTs)을 모델링한다. 여기서 $I_{\mathbb{Z}}$는 구 스펙트럼의 앤더슨 쌍대이다.
• 아담스 스펙트럼 수열을 적용하여 $MT\text{Pin}^\pm$, $MT\text{Pin}^{\tilde{c}\pm}$, 및 $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$와 같은 코보르드이즘 스펙트럼의 호모토피 군을 계산한다.
• 스펙트럼 수열의 $E_2$-항을 분석하기 위해 톰 이sovom르피즘과 $\mathcal{A}(1)$-모듈 구조를 이용하여 $\mathbb{Z}/2$ 계수 코homology를 분석한다.
• 메이-밀그램 정리를 사용하여 아담스 스펙트럼 수열의 미분을 식별하며, 특히 $d_n$을 $2^n$-보크슈타인 미분으로 식별한다.
• 예를 들어 $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n) \simeq M\text{Spin} \wedge (B\mathbb{Z}/2^{n-1})^{2\xi}$와 같이 분류 공간에서의 당김을 통해 톰 스펙트럼을 구성한다.
• 물리적 모델에 의존하지 않고도 알려진 물리적 분류와의 정확한 일치를 통해 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 보호 양자 위상 상태는 안정적 호모토피 이론과 코보르드이즘 스펙트럼을 통해 어떻게 분류될 수 있는가?
• RQ2 $MT\text{Pin}^-$, $MT\text{Pin}^+$, 및 다양한 물리적 대칭군에 관련된 관련 스펙트럼의 저차원 호모토피 군은 무엇인가?
• RQ3 역전이 가능한 TQFT의 호모토피 이론적 분류가 알려진 물리적 SPT 분류를 어느 정도 정확히 재현하는가?
• RQ4 아담스 스펙트럼 수열은 $\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n$와 같은 군의 확장에서 유도된 이국적인 코보르드이즘 스펙트럼의 호모토피 군을 효과적으로 계산하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ5 다른 방법론을 사용함에도 불구하고, 호모토피 이론적 방법의 결과가 물리적 격자 모델 계산 결과와 정확히 일치하는 이유는 무엇인가?

주요 결과

• $MT\text{Pin}^-$의 호모토피 군은 $\pi_0 = \mathbb{Z}/2$, $\pi_1 = 0$, $\pi_2 = \mathbb{Z}/2$, $\pi_3 = \mathbb{Z}/16$, $\pi_4 = 0$, $\pi_5 = 0$이며, 기존의 물리적 결과와 일치한다.
• $MT\text{Pin}^+$의 군은 $\pi_0 = \mathbb{Z}/2$, $\pi_1 = \mathbb{Z}/2$, $\pi_2 = \mathbb{Z}/8$, $\pi_3 = 0$, $\pi_4 = 0$, $\pi_5 = 0$이며, 물리적 분류를 확인한다.
• $M(\text{Spin} \times_{\mathbb{Z}/2} \mathbb{Z}/2^n)$의 경우 $\pi_0 = \mathbb{Z}$, $\pi_1 = \mathbb{Z}/2^n$, $\pi_2 = 0$, $\pi_3 = \mathbb{Z}/2^{n-2}$, $\pi_4 = \mathbb{Z}$, $\pi_5 = \mathbb{Z}/16$ ($n \geq 3$)이며, 아담스 스펙트럼 수열을 통한 명시적 계산이 이루어졌다.
• $U(1)$ 대칭을 갖는 보존 SPT의 $(d+1)$차원 분류는 $[MSO \wedge \mathbb{C}P^\infty_+, \Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}]$로 주어지며, $\pi_0 = \mathbb{Z}$, $\pi_1 = 0$, $\pi_2 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$, $\pi_3 = 0$, $\pi_4 = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$를 얻는다.
• 시간역전 대칭을 갖는 시스템의 경우 $[MO, \Sigma^{n+1}I_{\mathbb{Z}}]$를 통한 분류로 $\pi_0 = 0$, $\pi_1 = \mathbb{Z}/2$, $\pi_2 = 0$, $\pi_3 = (\mathbb{Z}/2)^2$, $\pi_4 = \mathbb{Z}/2$를 얻으며, 물리적 기대와 일치한다.
• $3+1$차원에서 $\mathbb{Z}/2$ 대칭을 갖는 페르미온계는 $[M\text{Spin} \wedge B\mathbb{Z}/2_+, \Sigma^5 I_{\mathbb{Z}}] = 0$이므로 분류가 자명하며, 이는 비자명한 SPT 위상이 존재하지 않음을 의미한다.