[논문 리뷰] Homotopy theory in a quasi-abelian category

James Wallbridge|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 14.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 그로텐디크 쿼asi아벨리안 범주에서 미분가환대수(dg) 모듈과 dg-대수의 범주에 쿼일렌 모델 구조를 수립하여, 무한차원 설정에서 유도 대수기하학을 위한 호모토피적 프레임워크를 가능하게 한다. 주요 기여는 완비 보른로지컬 벡터 공간과 유용한 벡터 공간과 같은 이러한 범주들이 잘 정의된 모델 구조를 지닌다는 것을 증명하는 것으로, 쿠즈룰 및 쉐바레브-에일렌버그 해법과 같은 유도 구조를 지원한다.

ABSTRACT

We prove that the category of dg-modules and dg-algebras in a Grothendieck quasi-abelian category are endowed with a Quillen model structure. This allows some flexibility in setting up a theory of derived algebraic geometry in the infinite dimensional setting. For example, the category of complete bornological vector spaces, or equivalently, convenient vector spaces, is a Grothendieck quasi-abelian category. Closely related is the Grothendieck quasi-abelian category of ind-Banach spaces whose associated model category is shown to be Quillen equivalent. Applications include the Chevalley-Eilenberg resolution and the Koszul resolution of a commutative monoid object in a Grothendieck quasi-abelian category. These can be used for the calculation of derived quotients by an infinite dimensional Lie algebra and derived intersections respectively.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 벡터 공간, 특히 아벨이 아니지만 쿼اسي아벨리안인 완비 보른로지컬 및 유용한 벡터 공간과 같은 범주에서 호모토피 이론을 개발하기 위해.
• 그로텐디크 쿼اسي아벨리안 범주에서 모델 범주를 구성하여 아벨이 아닌 설정으로의 유도 대수기하학을 확장하기 위해.
• 유도 몫과 무한차원 리 대수에 의한 유도 교차점의 계산을 위한 해법을 제공하기 위해.
• 예를 들어 $\textup{dg}^{\textup{CBorn}_{k}}$와 $\textup{dg}^{\textup{Conv}_{k}}$와 같은 관련 범주에서 체인 복합체의 모델 범주들 사이의 쿼일렌 동치를 수립하기 위해.
• 클래식한 해법인 쉐바레브-에일렌버그 및 쿠즈룰 해법을 그로텐디크 쿼اسي아벨리안 범주에서의 가환 모노이드 대상으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 그로텐디크 쿼اسي아벨리안 범주에서의 dg-모듈과 dg-대수의 범주가, 정밀화된 준동형사상으로 정의된 필라션과 약한 동치를 갖는 쿼일렌 모델 구조를 지닌다는 것을 증명한다.
• dg-모듈에 대한 삽입형 및 사영형 모델 구조를 사용하여, 모든 대상이 코프라프트임을 보이고, 필라션이 수준별로 정의됨을 보인다.
• 지역적으로 존재하는 범주 이론과 필터링된 합에 대해 엄밀한 단사 사상이 닫혀 있음을 이용하여, 그로텐디크 쿼اسي아벨리안 성질을 확립한다.
• 기저 환 $Q$ 위에서 가환 dg-대수의 범주에서 쿠즈룰-테이트 해법 $K(R,P)$를, $P'$ 위의 항등사상의 매핑 콘의 형태로 코프라프트 대체로 구성한다.
• 매핑 콘의 성질을 이용하여 $K(R,P) \to R$의 증강 사상이 코homology에 대해 동형을 유도함으로써, 이 사상이 임의의 필라션임을 보이며, 따라서 코프라프트 대체임을 증명한다.
• 다이어그램의 두 번째 열에 있는 범주들에서 유도된 모델 구조를 통해, 완비 보른로지컬 벡터 공간과 유용한 벡터 공간에서의 체인 복합체의 모델 범주들 사이의 쿼일렌 동치를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로텐디크 쿼اسي아벨리안 범주에서의 dg-모듈과 dg-대수의 범주에 쿠일렌 모델 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 완비 보른로지컬 벡터 공간 또는 유용한 벡터 공간의 범주는 무한차원에서의 유도 대수기하학을 지원하는 모델 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ3 쉐바레브-에일렌버그 및 쿠즈룰 해법은 그로텐디크 쿼اسي아벨리안 범주에서의 가환 모노이드 대상으로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 모델 범주들 사이의 체인 복합체인 $\textup{CBorn}_{k}$와 $\textup{Conv}_{k}$ 사이에 쿠일렌 동치가 존재하는가?
• RQ5 이 프레임워크에서 쿠즈룰 유형의 해법을 사용하여, 유도 스택 위의 함수의 유도 임계점이 계산될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 그로텐디크 쿼اسي아벨리안 범주에서의 dg-모듈과 dg-대수의 범주는 쿠일렌 모델 구조를 지닌다. 이는 아벨이 아닌 설정에서의 호모토피 대수학을 가능하게 한다.
• 완비 보른로지컬 벡터 공간에서의 체인 복합체의 모델 범주는 유용한 벡터 공간에서의 것과 쿠일렌 동치이다. 이는 두 무한차원 프레임워크 사이의 다리를 마련한다.
• 쿠즈룰 대수 $K(R,P)$는 기저 환 $Q$ 위의 가환 dg-대수의 범주에서 $R$에 대한 코프라프트 대체를 제공하며, 증강 사상 $K(R,P) \to R$는 임의의 필라션이다.
• 유도 스택 위의 함수 $f$의 유도 임계점은 $\operatorname{Spec}(K(A,\mathbb{L}_{X};df))$와 동형이며, 이는 접선 복합체의 쿠즈룰 해법을 통해 계산된다.
• 이동된 쌍대접선 스택 $T^*X[-1]$은 유도 임계점의 모델이며, 그 함수 대수는 $(\textup{Sym}(\mathbb{T}_X[1]), d_{df})$로 주어지며, 이는 쿠즈룰 유형의 dg-대수이다.
• 쿠즈룰 해법의 구성은 $Q$-대수 동치 $R_m \otimes_Q K(R,P) \simeq K(R,P;m)$로 확장되며, 이는 유도 기하학에서의 기저 변경을 가능하게 한다.