[논문 리뷰] Homotopy theory of higher categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 22.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 141인용 수 77

한 줄 요약

이 논문은 반복적인 Segal의 방법을 사용하여 고차 범주에 대한 호모토피 이론적 프레임워크를 개발한다. 임의의 다루기 쉬운 왼쪽 적절하고 카르테시안 모델 범주 M에 대해 M-전범주에서 다루기 쉬운, 왼쪽 적절하고 카르테시안 모델 구조를 구성한다. 핵심 기여는 이 방법을 반복 적용하여 (∞,n)-범주에 대한 모델 범주를系통적으로 구성함으로써 고차 범주 이론의 기초 도구를 제공하는 것이다.

ABSTRACT

This is the first draft of a book about higher categories approached by iterating Segal's method, as in Tamsamani's definition of $n$-nerve and Pelissier's thesis. If $M$ is a tractable left proper cartesian model category, we construct a tractable left proper cartesian model structure on the category of $M$-precategories. The procedure can then be iterated, leading to model categories of $(\\infty, n)$-categories.

연구 동기 및 목표

• 반복적인 Segal의 방법을 적용하여 고차 범주에 대한 체계적인 호모토피 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 다루기 쉬운 왼쪽 적절하고 카르테시안 모델 범주 M에서 M-전범주를 정의하고 연구하기 위해.
• M-전범주의 범주에 대해 다루기 쉬운, 왼쪽 적절하고 카르테시안 모델 구조를 구성하기 위해.
• 이러한 구성의 반복적 일반화를 통해 (∞,n)-범주의 모델 범주를 얻기 위해.
• 고차 호모토피 대수학에 적합한 체계적이고 기초적인 고차 범주 이론의 모델을 제공하기 위해.

제안 방법

• 단체 대상들을 통한 고차 범주적 구조를 정의하기 위해 Segal의 방법을 반복 적용하기 위해.
• 반복적 구성의 기초 자료로 Tamsamani의 n-nerve와 Pelissier의 박사학위 논문을 사용하기 위해.
• Segal 유형 조건을 만족하는 M에서의 단체 대상으로서 M-전범주 정의하기 위해.
• M-전범주에 대해 다루기 쉬우며, 왼쪽 적절하고 카르테시안인 모델 구조 수립하기 위해.
• 이 모델 구조가 수준 간 반복 과정과 호환됨을 검증하기 위해.
• 이를 통해 n중 반복을 통한 (∞,n)-범주의 모델 범주 정의로 확장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Segal의 방법은 어떻게 체계적으로 반복되어 고차 범주를 모델링할 수 있는가?
• RQ2 모델 범주 M에 어떤 조건이 성립하면 M-전범주에서 잘 정의된 모델 구조가 존재하는가?
• RQ3 M-전범주의 범주에 대해 다루기 쉬운, 왼쪽 적절하고 카르테시안 모델 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 구성의 반복적 적용은 어떻게 (∞,n)-범주의 모델 범주를 도출하는가?
• RQ5 반복 과정을 통해 어떤 성질가 유지되어 고차 범주적 프레임워크의 일관성을 보장하는가?

주요 결과

• 모든 다루기 쉬운 왼쪽 적절하고 카르테시안 모델 범주 M에 대해 M-전범주의 범주에 대해 다루기 쉬운, 왼쪽 적절하고 카르테시안 모델 구조가 구성된다.
• 이 구성은 반복 가능하며, 이 방법을 n중으로 적용하여 (∞,n)-범주의 모델 범주를 정의할 수 있다.
• 이 프레임워크는 Tamsamani의 n-nerve를 일반화하고 Pelissier의 박사학위 논문을 기반으로 하여 체계적인 고차 범주 모델을 제공한다.
• 결과적으로 도출된 모델 범주는 호모토피 대수학에 적합하며, (∞,n)-범주를 연구하기 위한 기초를 제공한다.
• 이 방법은 각 반복 수준에서 왼쪽 적절성과 다루기 쉬움과 같은 핵심 호모토피 성질이 유지됨을 보장한다.
• 모델 이론 기법을 사용하여 고차 범주 이론으로의 체계적이고 체계적인 접근로드맵을 제공한다.