[논문 리뷰] Homotopy theory of monoids and derived localization

Joe Chuang, Julian J. Holstein외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단순한 모노이드 대수의 유도 국소화에 대한 바 건축물과 그 모노이드의 네크의 유도 국소화에 대한 정규화된 체인 코알제브라 사이의 유도 동치를 확립하며, 이는 연결된 공간의 호모토피 범주에 대한 새로운 대수적 모델을 제공한다. 주요 기여는 감소한 심플리셜 집합의 ∞-범주와 유도 국소화된 모노이드 대수의 준동형에 의해 정의된 약한 동치를 갖는 이산 모노이드의 ∞-범주 사이의 동치를 제시함으로써, 연결된 호모토피 유형에 대한 순수 대수적 특성화를 제공한다.

ABSTRACT

We use derived localization of the bar and nerve constructions to provide simple proofs of a number of results in algebraic topology. This includes a recent generalization of Adams' cobar-construction to the non-simply connected case, and a new model for the homotopy theory of connected topological spaces using an infinity category of discrete monoids.

연구 동기 및 목표

• 이산 모노이드를 사용하여 연결된 위상공간의 호모토피 범주에 대한 순수 대수적 모델을 제공하기.
• 유도 국소화, 바 구성, 코바 구성 간의 관계를 대수적 토폴로지에서 명확히 하기.
• 아담스의 코바 구성과 헤스 및 톤크스의 확장된 코바 구성과 같은 기존 결과들을 단순화하고 일반화하기.
• 감소한 심플리셜 집합의 약한 동치가 그들의 체인 코알제브라의 약한 동치에 의해 감지됨을 보여주기.
• ∞-국소 시스템의 유도 범주가 심플리셜 집합의 체인 코알제브라의 코유도 범주에 완전충실하게 통합됨을 증명하기.

제안 방법

• 유도 국소화를 통해 미분가환대수의 원소들을 호모토피 관점에서 역으로 만들기.
• 모노이드 대수의 유도 국소화에 바 구성법을 적용하여 dg 코알제브라를 얻기.
• 모노이드의 네크를 ∞-범주로 구성하고 1-모르피즘의 부분집합에서 국소화하기.
• 필터링된 준동형의 지지자들을 통해 유도된 dg 코알제브라를 비교하기.
• 바-코바 수반관계와 필터링된 준동형의 성질을 활용하여 위상수학적 구성과 대수적 구성 간의 관계를 규명하기.
• 유도 국소화된 모노이드 대수의 준동형에 의해 정의된 약한 동치를 통해 이산 모노이드 범주 내의 약한 동치 정의하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결된 공간의 호모토피 이론이 이산 모노이드의 대수적 구조로 완전히 기록될 수 있는가?
• RQ2 유도 국소화는 비단순 연결된 상황에서 바 구성과 코바 구성 간의 통합을 어떻게 이루는가?
• RQ3 심플리셜 집합의 체인 코알제브라와 그 체인 코알제브라 위의 코바 구성 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 ∞-국소 시스템의 유도 범주는 심플리셜 집합의 체인 코알제브라의 코유도 범주에 완전한 부분범주인가?
• RQ5 감소한 심플리셜 집합의 약한 동치는 그들의 모노이드 대수를 통해 대수적으로 감지될 수 있는가?

주요 결과

• $ℓ\mathrm{B}\mathrm{L}_{W}\mathrm{C}(M)$와 $ℓ\mathrm{C}\mathrm{L}_{W}\mathrm{N}(M)$는 필터링된 준동형의 지지자들을 통한 약한 동치이다.
• 모든 감소한 심플리셜 집합 $K$에 대해, $K$가 군적일 경우 $\mathrm{C}\mathrm{G}(K)$와 $\Omega\mathrm{C}(K)$ 사이에 약한 동치가 존재한다.
• 모든 감소한 심플리셜 집합 $K$에 대해, $\mathrm{C}\mathrm{G}(K)$는 $\Omega\mathrm{C}(K)$의 국소화와 준동형이다. 이는 확장된 코바 구성의 일반화이다.
• 코유도 범주 $\operatorname{D^{co}}(\mathrm{C}(K))$는 $K$ 위의 $\u221e$-국소 시스템의 유도 범주를 완전한 부분범주로 포함한다.
• $K$가 군적일 경우, 코유도 범주 $\operatorname{D^{co}}(\mathrm{C}(K))$는 $K$ 위의 $\u221e$-국소 시스템의 유도 범주와 동치이다.
• 유도 국소화된 모노이드 대수의 준동형에 의해 정의된 약한 동치를 갖는 이산 모노이드의 상대 범주는, 퀼렌 약한 동치를 갖는 감소한 심플리셜 집합의 상대 범주와 동치이다.