[논문 리뷰] Homotopy Theory of Probability Spaces I: Classical independence and homotopy Lie algebras

Jae-Suk Park|arXiv (Cornell University)|2015. 10. 28.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $sL_{\nu}$-대수와 무한형 사상들을 사용하여 고전적 대수적 확률 공간의 호모토피적 일반화로 호모토피 확률 공간을 도입한다. 이는 확률 법칙을 호모토피 유형의 불변량으로 재해석한다. 주요 기여는 형식적 모듈리 공간 위의 애핀 접속을 통해 모멘트 생성 함수를 표현하는 형식적 미분계의 구성으로, 고전적 중심극한정리의 유지와 함께 확률론에서 새로운 계산 도구를 가능하게 한다.

ABSTRACT

This is the first installment of a series of papers whose aim is to lay a foundation for homotopy probability theory by establishing its basic principles and practices. The notion of a homotopy probability space is an enrichment of the notion of an algebraic probability space with ideas from algebraic homotopy theory. This enrichment uses a characterization of the laws of random variables in a probability space in terms of symmetries of the expectation. The laws of random variables are reinterpreted as invariants of the homotopy types of infinity morphisms between certain homotopy algebras. The relevant category of homotopy algebras is determined by the appropriate notion of independence for the underlying probability theory. This theory will be both a natural generalization and an effective computational tool for the study of classical algebraic probability spaces, while keeping the same central limit. This article is focused on the commutative case, where the laws of random variables are also described in terms of certain affinely flat structures on the formal moduli space of a naturally defined family attached to the given algebraic probability space. Non-commutative probability theories will be the main subject of the sequels. (This work is a spin-off from the author's program to characterize path integrals of quantum field theory in terms of the symmetries of the quantum expectation which should satisfy a certain coherence with a particular weight filtration generated by the Planck constant $\hbar$. A similar idea is adopted here in a simplified form, without the $\hbar$-conditions, and, in return, many results in this paper will be used as background materials in the forthcoming work on homotopy theory of quantum fields).

연구 동기 및 목표

• 고전적 대수적 확률 공간에 대수적 호모토피 이론을 통합하여 호모토피 확률 이론의 기초 프레임워크를 수립하기 위해.
• 무한형 사상 간의 호모토피 유형의 불변량으로서 랜덤 변수의 법칙을 재해석하기 위해.
• 고전적 중심극한정리를 유지하면서 고전적 확률론을 호모토피적 환경으로 일반화하기 위해.
• 호모토피 확률 대수의 모듈리 공간 위에 애핀으로 평탄한 접속이라는 형식 기하학적 구조를 개발하기 위해.
• 향후 논문에서 비가환 호모토피 확률 이론을 위한 기초를 마련하기 위해.

제안 방법

• 랜덤 변수와 그 상관관계를 모델링하기 위해 단위를 가진 $sL_{\nu}$-대수를 호모토피 대수적 프레임워크로 사용한다.
• 호모토피 확률 공간을 $sL_{\nu}$-사상으로 정의하고, 이러한 사상의 호모토피 유형에서 상관 함수를 유도한다.
• 곱셈과 고차 상관관계를 표현하는 $(2,1)$-텐서를 나타내는 형식적 멱급수 $A^{\bullet}_{\beta\beta}{}^{\rho}$를 도입한다.
• 1-텐서 $T_{\bullet}^{\rho}$를 포함하는 형식적 미분방정식계의 해로 모멘트 생성 함수 $Z_{{\bm{\nabla}}^{\bullet}}$를 구성한다.
• 마우러-카르탕 이론과 형식 기하학을 적용하여 호모토피 확률 대수의 모듈리 공간을 애핀으로 평탄한 슈퍼다양체로 기술한다.
• 다음 두 미분방정식계를 도출한다: $(\partial_{\alpha}\partial_{\beta} - \sum_{\gamma} A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} \partial_{\gamma})Z = 0$ 및 $(\partial_0 - 1)Z = 0$, 이는 모멘트 생성 함수를 지배한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 확률 법칙은 대수적 위상수학에서 무한형 사상의 호모토피 유형의 불변량으로 어떻게 재해석될 수 있는가?
• RQ2 $sL_{\infty}$-대수는 호모토피적 환경에서 랜덤 변수의 누산량과 모멘트 구조를 어떻게 표현하는가?
• RQ3 호모토피 확률 대수의 형식적 모듈리 공간 위의 애핀으로 평탄한 구조는 상관 함수의 기하학을 어떻게 반영하는가?
• RQ4 이 호모토피적 일반화가 확률 공간에 적용될 때 중심극한정리는 유지될 수 있는가?
• RQ5 유한차원 슈퍼선택 부문에서 호모토피적 랜덤 변수의 공간은 정확히 어떤 대수적 및 기하학적 구조를 갖는가?

주요 결과

• 유한차원 슈퍼선택 부문에서의 모멘트 생성 함수 $Z_{{\bm{\nabla}}^{\bullet}}$는 1-텐서 $\{T_{\bullet}^{\gamma}\}$와 기대값 $\{\iota^{{\bm{\nabla}}_{\bullet}}(e_{\gamma})\}$에 의해 완전히 결정되며, $\iota^{{\bm{\nabla}}_{\bullet}}(e_0) = 1$을 만족한다.
• 모멘트 생성 함수를 지배하는 미분방정식계 $(\partial_{\alpha}\partial_{\beta} - \sum_{\gamma} A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} \partial_{\gamma})Z = 0$ 및 $(\partial_0 - 1)Z = 0$는 $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ 텐서를 통해 모든 동시 모멘트를 포함한다.
• $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ 텐서는 다음과 같은 계승 대칭 조건을 만족한다: $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma} = (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|} A^{\bullet}_{\beta\alpha}{}^{\gamma}$, 이는 계승 교환법칙을 반영한다.
• $A^{\bullet}_{\alpha\beta}{}^{\gamma}$ 텐서는 일반화된 자코비 유형 항등식을 만족한다: $\partial_{\alpha}A^{\bullet}_{\beta\gamma}{}^{\sigma} - (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|}\partial_{\beta}A^{\bullet}_{\alpha\gamma}{}^{\sigma} + \sum_{\rho} (A^{\bullet}_{\beta\gamma}{}^{\rho}A^{\bullet}_{\alpha\rho}{}^{\sigma} - (-1)^{|e_{\alpha}||e_{\beta}|} A^{\bullet}_{\alpha\gamma}{}^{\rho}A^{\bullet}_{\beta\rho}{}^{\sigma}) = 0$, 이는 형식적 접속의 일관성을 보장한다.
• 유한차원 완비 공간 내의 호모토피적 랜덤 변수의 공간은 $\Bbbk[\![t_{\mathcal{S}^\diamond}]\!]$ 위의 평탄한 애핀 접속으로 기술되는 형식 기하학적 구조를 갖는다. 이 경우 곡률는 식별적으로 0이다.
• 공간 $\mathcal{S}^\diamond$ 위의 호모토피 확률 공간 구조는 $\mathcal{S}^\diamond_{\color[rgb]{0,0,1}L}$에서 $\mathcal{C}_{{\color[rgb]{0,0,1}L_{\infty}}}$로 향하는 단위를 가진 $sL_{\infty}$-사상 $\underline{\varphi}^{\mathcal{S}^\diamond}$에 의해 유도되며, 기대값은 $\iota^{{\bm{\mathcal{S}}}^\diamond} = \mathfrak{c} \circ \varphi_1^{\mathcal{S}^\diamond}$로 주어진다.