[논문 리뷰] Homotopy types of Diffeomorphism groups of noncompact 2-manifolds

Tatsuhiko Yagasaki|arXiv (Cornell University)|2001. 09. 24.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 컴act-open $C^{\infty}$-위상에서 비콤팩트이면서 연결된 미분가능한 2차원 다양체의 미분동형사상군의 호모토피 유형을 조사한다. 논문은 미분동형사상군의 항등성분이 $\ell_2$-다양체임을 규명하고, 다양체가 평면, 개방된 애뉴럴 또는 개방된 모비우스 띠인 경우에만 그 호모토피 유형이 원주 $\mathbb{S}^1$와 같으며, 그 외의 경우는 수축 가능하다고 밝힌다. 이러한 결과는 약한 위상과 동치 기법을 이용해 체적을 보존하는 미분동형사상군으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Suppose M is a noncompact connected smooth 2-manifold without boundary and let D(M)_0 denote the identity component of the diffeomorphism group of M with the compact-open C^infty-topology. In this paper we investigate the topological type of D(M)_0 and show that D(M)_0 is a topological ell_2-manifold and it has the homotopy type of the circle if M is the plane, the open annulus or the open M"obius band, and it is contractible in all other cases. When M admits a volume form w, we also discuss the topological type of the group of w-preserving diffeomorphisms of M. To obtain these results we study some fundamental properties of transformation groups on noncompact spaces endowed with weak topology.

연구 동기 및 목표

• 비콤팩트 미분가능한 2차원 다양체의 미분동형사상군의 항등성분 $\mathcal{D}(M)_0$ 이며, 컴팩트 오픈 $C^\infty$-위상 하에서의 호모토피 유형을 분류하는 것.
• 비콤팩트 공간 위의 변환군에 대해 약한 위상을 도입함으로써 기존의 콤팩트 표면에 대한 결과를 비콤팩트 표면으로 확장하는 것.
• 주어진 체적 형식을 가진 비콤팩트 2차원 다양체 위에서 체적을 보존하는 미분동형사상군의 위상적 및 호모토피적 구조를 분석하는 것.
• 콤팩트 초월이 있는 미분동형사상군의 부분군이 전체 미분동형사상군에 대해 호모토피 밀도를 가짐을 확립하는 것.

제안 방법

• 비콤팩트 공간 위의 변환군에 대해 약한 위상을 도입하며, 이는 컴팩트 오픈 위상과 대응된다.
• 이전 연구에서 얻은 호메오멀포이즘군 결과를 적용하기 위해, $\ell_2$-다양체 구조와 호모토피 분류 조건을 검증함으로써, 이를 미분동형사상군에 확장한다.
• 중첩된 부분다양체에 대한 귀납적 추론을 통해, $\{M_i\}$의 콤팩트 부분다양체의 순서를 이용해 $\mathcal{D}_X^r(M)_0$의 호모토피 유형을 분석한다.
• 호모토피 밀도 부분공간과 강한 변형재구성(Strong Deformation Retract, SDR) 개념을 적용하여, 콤팩트 초월이 있는 동치 기법이 전체 미분동형사상군에 대해 호모토피 밀도를 가짐을 보인다.
• 끝 충전 호모모르피즘과 동치 기법의 확장 정리를 이용해, 유한형 표면 위의 미분동형사상군의 구조를 분석한다.
• 무한에서의 앨리 색인 기법과 SDR 추론을 활용하여, 특정 경우에 수축 가능성 또는 원주 유형의 호모토피를 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 오픈 $C^\infty$-위상 하에서 비콤팩트 미분가능한 2차원 다양체의 미분동형사상군의 항등성분의 호모토피 유형은 무엇인가?
• RQ2 체적 형식 $\omega$를 가진 비콤팩트 2차원 다양체 위에서 $\omega$-보존 미분동형사상군이 언제 원주 또는 수축 가능한 호모토피 유형을 가질 수 있는가?
• RQ3 콤팩트 초월과 콤팩트 동치 기법을 가진 미분동형사상군의 부분군은 전체 미분동형사상군과 호모토피 관계에서 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 콤팩트 초월이 있는 미분동형사상군이 전체 미분동형사상군에 대해 호모토피 밀도를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 비콤팩트 미분가능한 2차원 다양체의 미분동형사상군의 항등성분 $\mathcal{D}(M)_0$ 은 위상적 $\ell_2$-다양체이다.
• 만약 $M$ 이 평면, 개방된 애뉴럴 또는 개방된 모비우스 띠인 경우, $\mathcal{D}(M)_0$ 은 원주 $\mathbb{S}^1$ 와 같은 호모토피 유형을 가진다.
• 모든 나머지 경우에서 $\mathcal{D}(M)_0$ 은 수축 가능하다.
• 포함관계 $\mathcal{D}^r_X(M)^c_0 \subset \mathcal{D}^r_X(M)_0$ 는 호모토피 동치이며, $\mathcal{D}^r_X(M)^{c*}_0$ 는 $\mathcal{D}^r_X(M)_0$ 에 대해 호모토피 밀도를 가진다.
• 비콤팩트 2차원 다양체 위에서 체적을 보존하는 미분동형사상군에 대해 $\mathcal{D}(M;\omega)_0$ 는 위상적 $\ell_2$-다양체이며, $\mathcal{D}(M)_0$ 과 동일한 호모토피 유형을 가진다.
• 끝 충전 호모모르피즘 $c^\omega_0$ 의 핵은 $\mathcal{D}(M;\omega)_0$ 의 강한 변형재구성이며, 그 콤팩트 초월 동치 기법 부분군은 호모토피 밀도를 가진다.