[논문 리뷰] Hopf Algebra Equivariant Cyclic Homology and Cyclic Homology of Crossed Product Algebras

R. Akbarpour, Masoud Khalkhali|ArXiv.org|2000. 11. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Getzler와 Jones의 교차곱 대수의 순환 호모로지 이론을 호프 대수 작용으로 일반화한다. $A\natural\mathcal{H}$라는 실린더 모듈 $A\natural\mathcal{H}$를 도입하고, 교차곱 대수의 순환 모듈과 이 실린더 모듈의 대각선 사이의 동형사상을 증명한다. 호프 대수 $\mathcal{H}$의 역원이 존재하는 항등소 $S$가 존재할 경우, $A\rtimes\mathcal{H}$의 순환 호모로지를 근사하는 스펙트럴 시퀀스를 수립하며, $\mathsf{E}^0$, $\mathsf{E}^1$, $\mathsf{E}^2$ 항의 명시적 계산을 제공한다.

ABSTRACT

We introduce the cylindrical module $A atural \mathcal{H}$, where $\mathcal{H}$ is a Hopf algebra and $A$ is a Hopf module algebra over $\mathcal{H}$. We show that there exists an isomorphism between $\mathsf{C}_{\bullet}(A^{op} times \mathcal{H}^{cop})$ the cyclic module of the crossed product algebra $A^{op} times \mathcal{H}^{cop} $, and $Δ(A atural \mathcal{H}) $, the cyclic module related to the diagonal of $A atural \mathcal{H}$. If $S$, the antipode of $\mathcal{H}$, is invertible it follows that $\mathsf{C}_{\bullet}(A times \mathcal{H}) \simeq Δ(A^{op} atural \mathcal{H}^{cop})$. When $S$ is invertible, we approximate $HC_{\bullet}(A times \mathcal{H})$ by a spectral sequence and give an interpretation of $ \mathsf{E}^0, \mathsf{E}^1$ and $\mathsf{E}^2 $ terms of this spectral sequence.

연구 동기 및 목표

• 교차곱 대수의 순환 호모로지 이론을 군 작용에서 호프 대수 작용으로 확장한다.
• 호프 대수 $\mathcal{H}$ 위의 호프 모듈러 대수 $A$에 대해 실린더 모듈 $A\natural\mathcal{H}$를 정의하고, 그 대각선이 순환 모듈이 되는 것을 보인다.
• 항등소 $S$가 역원일 경우, 교차곱 대수의 순환 모듈과 실린더 모듈의 대각선 사이의 동형사상을 확립한다.
• 항등소 $S$가 역원일 경우, $HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H})$를 근사하는 스펙트럴 시퀀스를 구성하고, 그 초기 항들을 계산한다.
• 반단순 호프 대수와 국소적으로 노름이 0인 미분을 갖는 대수에 결과를 적용하여, 주기적 순환 코homology에서 알려진 동형사상을 회복한다.

제안 방법

• 호프 대수 $\mathcal{H}$ 위의 호프 모듈러 대수 $A$에 대해, $\mathcal{H}$의 작용을 이용하여 실린더 모듈 $A\natural\mathcal{H}$를 도입한다.
• 면, 분열, 순환 연산자가 필요로 하는 파라사이클릭 항등식을 만족함을 확인하여, 대각선 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$가 순환 모듈을 이룬다는 것을 증명한다.
• 실린더 모듈에 대한 Eilenberg-Zilber 정리를 사용하여, $\mathsf{C}_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$와 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$ 사이의 동형사상을 수립한다.
• 항등소 $S$가 역원일 경우, 쌍대성과 모듈러 구조를 통해 $\mathsf{C}_\bullet(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq \Delta(A^{op}\natural\mathcal{H}^{cop})$의 동형사상을 유도한다.
• 등변 순환 모듈 $C_\bullet^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op})$를 구성하고, 이를 사용하여 $HC_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$를 근사하는 스펙트럴 시퀀스를 구축한다.
• 호모로지 대수학과 $\mathcal{H}$의 $A$ 위의 작용을 이용하여, 스펙트럴 시퀀스의 $\mathsf{E}^0$, $\mathsf{E}^1$, $\mathsf{E}^2$ 항을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 호프 대수 $\mathcal{H}$가 $A$ 위에 작용할 때, 교차곱 대수 $A\rtimes\mathcal{H}$의 순환 호모로지가 어떻게 계산될 수 있는가?
• RQ2 항등소 $S$는 교차곱 대수의 순환 모듈과 실린더 모듈의 대각선 사이의 동형사상에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 항등소 $S$가 역원일 경우, $HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H})$를 근사하는 스펙트럴 시퀀스를 구성할 수 있으며, 그 시퀀스의 초기 항은 무엇인가?
• RQ4 스펙트럴 시퀀스의 $\mathsf{E}^0$, $\mathsf{E}^1$, $\mathsf{E}^2$ 항은 $\mathcal{H}$-불변 및 쌍불변 부분복합체의 호모로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 스펙트럴 시퀀스는 국소적으로 노름이 0인 미분을 갖는 대수 또는 반단순 호프 대수에 대해 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 실린더 모듈 $A\natural\mathcal{H}$의 대각선 $\Delta(A\natural\mathcal{H})$는 순환 모듈 $\mathsf{C}_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$와 동형이다.
• 항등소 $S$가 역원일 경우, $\mathsf{C}_\bullet(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq \Delta(A^{op}\natural\mathcal{H}^{cop})$의 동형사상이 존재하며, 이는 이전 결과를 일반 호프 대수로 확장한다.
• 항등소 $S$가 역원일 경우, $HC_\bullet(A^{op}\rtimes\mathcal{H}^{cop})$를 근사하는 스펙트럴 시퀀스를 구성하였으며, $\mathsf{E}^0$-항은 $\mathsf{E}^0_{pq} = C_p^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op}) \otimes \Omega_q(\mathcal{H}^{cop})$로 주어진다.
• $\mathsf{E}^1$-항은 복합체 $C_\bullet^{\mathcal{H}^{cop}}(A^{op})$의 호모로지와 표준 복합체 $\mathcal{H}^{cop}$의 계수를 갖는 것으로 동형이며, $\mathsf{E}^2$-항은 $\mathcal{H}^{cop}$-쌍불변 부분복합체의 호모로지이다.
• 반단순 호프 대수의 경우, 스펙트럴 시퀀스는 $\mathsf{E}^1$에서 멈추며, $HC_\bullet(A\rtimes\mathcal{H};\mathsf{W}) \cong HC_\bullet(C_\bullet^{\mathcal{H}}(A);\mathsf{W})$가 성립한다. 여기서 $C_\bullet^{\mathcal{H}}(A)$는 등변 체인 복합체이다.
• 국소적으로 노름이 0인 미분 $\delta$가 $A$ 위에 존재하고 $\mathcal{H} = k[x]$일 경우, 스펙트럴 시퀀스는 주기적 순환 코homology에서 6항 연속열을 유도하며, 고차 항의 소멸으로 인해 $HP^\ast(A\rtimes\mathcal{H}) \simeq HP^\ast(A)$가 성립한다.