[논문 리뷰] Hopf Algebras of m-permutations, (m+1)-ary trees, and m-parking functions

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 29인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 퍼미테이션, 팩드 워드, 주차 함수에 대한 고전적 조합적 호프 대수의 m-아날로그를 제안한다. 이를 위해 새로운 동치 관계인 하이포시르베스트 및 메타시르베스트를 정의하며, 이는 시르베스트 동치를 일반화한다. 이러한 동치 관계는 (m+1)-진 트리, m-퍼미테이션, m-주차 함수로 인덱싱된 기저 원소를 가진 호프 대수를 이끌어내며, 곱 연산은 m-Tamari 격자 내의 간격과 대응된다. 주요 기여는 이러한 m-아날로그 호프 대수를 체계적으로 구성함으로써, 비가환 대칭 함수와 쿼라-대칭 함수를 자연스럽게 통합하고 확장하는 것이다.

ABSTRACT

The m-Tamari lattice of F. Bergeron is an analogue of the clasical Tamari order defined on objects counted by Fuss-Catalan numbers, such as m-Dyck paths or (m+1)-ary trees. On another hand, the Tamari order is related to the product in the Loday-Ronco Hopf algebra of planar binary trees. We introduce new combinatorial Hopf algebras based on (m+1)-ary trees, whose structure is described by the m-Tamari lattices. In the same way as planar binary trees can be interpreted as sylvester classes of permutations, we obtain (m+1)-ary trees as sylvester classes of what we call m-permutations. These objects are no longer in bijection with decreasing (m+1)-ary trees, and a finer congruence, called metasylvester, allows us to build Hopf algebras based on these decreasing trees. At the opposite, a coarser congruence, called hyposylvester, leads to Hopf algebras of graded dimensions (m+1)^{n-1}, generalizing noncommutative symmetric functions and quasi-symmetric functions in a natural way. Finally, the algebras of packed words and parking functions also admit such m-analogues, and we present their subalgebras and quotients induced by the various congruences.

연구 동기 및 목표

• 퍼미테이션, 팩드 워드, 주차 함수와 같은 고전적 구조의 조합적 호프 대수 이론을 m-아날로그로 확장한다.
• 시르베스트 동치를 일반화하는 새로운 동치 관계인 하이포시르베스트 및 메타시르베스트를 m-퍼미테이션과 m-팩드 워드에 정의한다.
• 기저 원소가 (m+1)-진 트리, m-퍼미테이션, m-주차 함수로 인덱싱된 새로운 호프 대수를 구성하며, 곱 연산이 m-Tamari 격자의 순서를 반영하도록 한다.
• 하이포시르베스트 몫을 통해 그레이드 차원 (m+1)^{n-1}을 통해 비가환 대칭 함수와 쿼라-대칭 함수를 일반화한다.
• 기능적 방정식과 전단사 사상들을 통해 m-Tamari 격자, m-Dyck 경로, 호프 대수 간의 연결 고리를 설정한다.

제안 방법

• m-퍼미테이션과 m-팩드 워드에 하이포시르베스트 및 메타시르베스트 동치를 도입하여 시르베스트 동치를 정교화한다.
• m-표준화를 사용하여 자유 m-쿼라-비대칭 함수의 호프 대수 ${}^{m}{\bf FQSym}$를 정의하며, 이는 FQSym의 일반화이다.
• ${}^{m}{\bf FQSym}$의 메타시르베스트 및 하이포시르베스트 동치에 대한 몫을 통해, 감소하는 (m+1)-진 트리와 하이포시르베스트 클래스로 인덱싱된 부분대수를 구성한다.
• 시르베스트 클래스와 (m+1)-진 트리 간의 전단사를 확립하며, m=1일 때 Loday-Ronco 구성의 일반화이다.
• 기능적 방정식과 생성함수를 적용하여 m-퍼미테이션, m-팩드 워드, m-주차 함수에서의 시르베스트, 하이포시르베스트, 메타시르베스트 클래스를 수량화한다.
• 플라틱 및 히포플라틱 동치를 기준으로 삼아, 새로운 동치 관계가 호프 대수 구조의 맥락에서 어떻게 비교되고 대조되는지 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 퍼미테이션에 대한 시르베스트 동치를 m-퍼미테이션으로 일반화하여 (m+1)-진 트리로 인덱싱된 호프 대수를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 m-퍼미테이션과 m-팩드 워드에 대한 새로운 하이포시르베스트 및 메타시르베스트 동치의 조합론적 및 대수적 성질은 무엇인가?
• RQ3 결과로 얻어진 호프 대수의 그레이드 차원 (m+1)^{n-1}은 어떻게 비가환 대칭 함수와 쿼라-대칭 함수를 일반화하는가?
• RQ4 m-Tamari 격자와 (m+1)-진 트리 호프 대수의 곱 연산 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 m-팩드 워드 및 m-주차 함수 호프 대수의 다양한 몫들(sylvester, hyposylvester, metasylvester, hypoplactic)은 기존의 조합적 수열과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• m-퍼미테이션의 시르베스트 클래스는 (m+1)-진 트리와 전단사 관계를 가지며, m=1일 때 Loday-Ronco 구성의 일반화이다.
• 자유 m-쿼라-비대칭 함수의 호프 대수 ${}^{m}{\bf FQSym}$는 고전적 FQSym 대수의 부분대수와 동형이다.
• 하이포시르베스트 몫은 그레이드 차원 (m+1)^{n-1}을 가지며, 비가환 대칭 함수를 일반화하는 호프 대수를 생성한다.
• 메타시르베스트 몫은 감소하는 (m+1)-진 트리로 인덱싱된 호프 대수를 생성하며, m=1일 때 수열 A000272와 일치하고, 더 높은 m에 대해서는 A052750, A052752 등으로 일반화된다.
• m-주차 함수의 경우, 시르베스트 클래스의 수는 m=1일 때 수열 A001764이며, 더 높은 m에 대해서는 A002294, A002296 등으로 일반화된다.
• m-주차 함수의 메타시르베스트 클래스는 A132624에 의해 수량화될 것으로 추측되며, 첫 번째 행은 m=1일 때 알려진 수열과 일치한다.