[논문 리뷰] Hopf algebras, tetramodules, and n-fold monoidal categories

Boris Shoikhet|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 결합 법칙을 만족하는 이중 대칭 대수에 대한 사모듈러의 범주에 2중 모나이드 구조를 수립하여, 그 Ext^* 공간이 양자 곱을 통해 3대수를 이룬다는 것을 보여준다. 또한 임의의 호프 대수의 게르스텐하버-샤크 코homology는 자연스러운 3대수 구조를 지닌다는 것을 증명하고, Z-평탄한 대수의 호흐실트 코homology에 작용하는 안정 호모토피 군의 작용을 갖는 작도를 규명한다.

ABSTRACT

The abelian category of tetramodules over an associative bialgebra $A$ is related with the Gerstenhaber-Schack (GS) cohomology as $Ext_\Tetra(A,A)=H_\GS(A)$. We construct a 2-fold monoidal structure on the category of tetramodules of a bialgebra. Suppose $C$ is an abelian $n$-fold monoidal category with the unit object $A$. We prove, provided some condition (*), that $Ext_C(A,A)$ is an $(n+1)$-algebra. In the case of bialgebras this condition (*) is satisfied when $A$ is a Hopf algebra. Finally, the GS cohomology of a Hopf algebra is a 3-algebra. As well, we consider this kind of questions of (bi)algebras over integers. Let $A$ be an associative algebra over $Z$ flat over $Z$. We prove that the operad acting on its Hochschild cohomology is the operad of stable homotopy groups of the little discs operad.

연구 동기 및 목표

• 이중 대칭 대수 A에 대한 사모듈러의 범주에 2중 모나이드 구조를 구성하기.
• n중 모나이드 아벨 범주 C에서 단위가 A인 경우, C 내부에서의 Ext^*_{C}(A,A) 공간이 자연스럽게 (n+1)-대수 구조를 지닌다는 것을 보여주기.
• Z-평탄한 결합 법칙 대수의 호흐실트 코homology에 작용하는 작도를 규명하기.
• n중 모나이드 범주를 통해 위상공간에서 그레디에이티드 벡터 공간으로 가는 반대변호를 정의하기.
• 게르스텐하버-샤크 코homology와 3대수와 같은 고차 대수적 구조 간의 연결 고리를 확립하기.

제안 방법

• 이중 대칭 대수 A에 대한 사모듈러의 범주 Tetra(A)에 2중 모나이드 구조를 구성하기.
• Yoneda 곱을 사용하여, n중 모나이드 아벨 범주 C에서 단위가 A인 경우, Ext^*_{C}(A,A)에 그레디에이티드 (n+1)-대수 구조를 정의하기.
• Hochschild 코homology에 작용하는 작도 O^Z_n = π^{stab}_{-i}(D^2_n) 정의하기.
• Ext^*_{Tetra(A)}(A,A)가 자유 모듈러와 코자유 코모듈러를 이용한 분해를 통해 게르스텐하버-샤크 코homology와 동형임을 이용하기.
• 일반적인 δ-함수 성질을 적용하여, 분해를 통한 Ext 계산이 표준 Ext 함자와 일致함을 보여주기.
• 사모듈러의 범주에서 대각선에 대한 코즐 분해를 사용하여 S(V)의 코homology를 V와 그 쌍대공간의 외적의 직합으로 계산하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 이중 대칭 대수에 대한 사모듈러의 범주에 2중 모나이드 구조를 구성할 수 있는가?
• RQ2 공통 단위 A를 가진 n중 모나이드 아벨 범주에서 Ext^*_{C}(A,A)에 어떤 대수적 구조가 나타나는가?
• RQ3 Z-평탄한 결합 법칙 대수의 호흐실트 코homology에 작용하는 작도는 무엇이며, 안정 호모토피 군과는 어떻게 관련되는가?
• RQ4 호프 대수의 게르스텐하버-샤크 코homology가 어떻게 자연스럽게 3대수 구조를 지니는가?
• RQ5 S(V)의 코homology에 대한 3대수 구조가 사모듈러의 2중 모나이드 구조를 통해 명시적으로 검증될 수 있는가?

주요 결과

• 이중 대칭 대수 A에 대한 사모듈러의 범주는 2중 모나이드 구조를 지닌다.
• 모든 n중 모나이드 아벨 범주 C에서 단위가 A인 경우, 그레디에이티드 Ext^*_{C}(A,A)는 Yoneda 곱을 통해 자연스럽게 (n+1)-대수 구조를 지닌다.
• 임의의 호프 대수 A의 게르스텐하버-샤크 코homology는 Tetra(A)의 2중 모나이드 구조의 결과로 자연스럽게 3대수이다.
• Z-평탄한 결합 법칙 대수 A의 호흐실트 코homology는 k번째 성분이 안정 호모토피 군 π^{stab}_{-i}(D^2_k)인 작도에 의해 자연스럽게 작용한다.
• A = S(V)인 경우, 게르스텐하버-샤크 코homology는 H^k_{GS}(A) = ⨁_{i+j=k} Λ^i V ⊗ Λ^j(V*)로 계산되며, 자연스러운 3대수 구조를 지닌다.
• H^k_{GS}(S(V))에 대한 3대수 구조는 Tetra(S(V))의 2중 모나이드 구조에 의해 유도되는 것과 일치할 것으로 예상되나, 명시적 검증은 추측으로 남겨져 있다.