[논문 리뷰] Hopf Algebroids, Bimodule Connections and Noncommutative Geometry

Aryan Ghobadi|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 23.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 28인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비가환 대수 위에서의 일阶 미분 계산을 사용하여 비가환 대수 위에서의 새로운 호프 대수대를 구성한다. 왼쪽 이중모듈러 연결을 나타내는 왼쪽 양방향대수대 $B\frak{X}^1$를 도입하고, $\frak{X}^1$와 $\frak{\textstyle\bigwedge}^2\frak{X}^1$의 중심성 조건 하에 평탄한 이중모듈러 연결을 분류하는 호프 대수대 $\mathcal{D}\frak{X}$를 구성한다. 가환 경우에 이는 고전적 리-린하르트 호프 대수대의 몫으로 복원된다.

ABSTRACT

We construct new examples of left bialgebroids and Hopf algebroids, arising from noncommutative geometry. Given a first order differential calculus $Ω$ on an algebra $A$, with the space of left vector fields $\mathfrak{X}$, we construct a left $A$-bialgeroid $B\mathfrak{X}$, whose category of left modules is isomorphic to the category of left bimodule connections over the calculus. When $Ω$ is a pivotal bimodule, we construct a Hopf algebroid $H\mathfrak{X}$ over $A$, by restricting to a subcategory of bimodule connections which intertwine with both $Ω$ and $\mathfrak{X}$ in a compatible manner. Assuming the space of 2-forms $Ω^{2}$ is pivotal as well, we construct the corresponding Hopf algebroid $\mathcal{D}\mathfrak{X}$ for flat bimodule connections, and recover Lie-Rinehart Hopf algebroids as a quotient of our construction in the commutative case. We use these constructions to provide explicit examples of Hopf algebroids over noncommutative bases.

연구 동기 및 목표

• 비가환 기저 대수를 가진 명시적 호프 대수대 예시의 부족을 해결하기 위해.
• 비가환 미분 기하학을 사용하여 리-린하르트 호프 대수대를 가환 설정을 초월해 일반화하기 위해.
• 일阶 미분 계산을 갖는 비가환 대수 위에서 평탄한 이중모듈러 연결을 분류하는 호프 대수대 구조를 구성하기 위해.
• 기존 문헌의 결과를 확장하여 구성된 호프 대수대에서 역행렬 항등원의 존재 조건을 제공하기 위해.
• 구성된 양방향대수대의 모듈러와 미분 계산 위의 이중모듈러 연결의 범주 간 카테고리 동치를 수립하기 위해.

제안 방법

• 일계 미분 계산을 갖는 대수 $A$ 위에서의 왼쪽 이중모듈러 연결의 범주와 동치인 왼쪽 양방향대수대 $B\frak{X}^1$를 구성한다.
• 1형식의 공간 $\Omega^1$ 과 왼쪽 벡터장의 공간 $\frak{X}^1$에 중심성 이중모듈러 구조를 도입하여 호프 대수대 $H\frak{X}^1$를 정의한다.
• 2형식의 공간 $\Omega^2$ 또한 중심성을 갖는 조건 하에 이 구성의 확장으로 평탄한 이중모듈러 연결을 분류하는 호프 대수대 $\mathcal{D}\frak{X}$를 구성한다.
• 양방향대수대의 보편 성질을 사용하여 $A$ 위에서의 텐서곱을 통한 이중모듈러 연결의 모노이드 구조를 복원한다.
• 쇼아엔부르크의 호프 대수대 공리계를 적용하고, 보함과 슈라하니의 정의에 따라 항등원 존재 조건을 제공한다.
• 가환 경우에, $\frak{X}^1$ 가 유한 생성 및 프로젝티브일 때, 이 구성은 고전적 리-린하르트 호프 대수대로 몫으로 복원된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일계 미분 계산에서 유래하는 이중모듈러 연결을 분류하는 비가환 대수 위에서의 호프 대수대를 구성할 수 있는가?
• RQ2 구성된 양방향대수대가 항등원을 갖는 호프 대수대로서의 구조를 갖기 위한 미분 계산의 조건은 무엇인가?
• RQ3 가환 설정에서 이 구성은 고전적 리-린하르트 호프 대수대와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 구성된 양방향대수대의 모듈러와 이중모듈러 연결의 범주 간 카테고리적 관계는 무엇인가?
• RQ5 구성된 호프 대수대에서 항등원의 존재는 기저 대수 위의 오른쪽 작용에 의해 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 왼쪽 양방향대수대 $B\frak{X}^1$는 그 왼쪽 모듈러의 범주가 계산 위의 왼쪽 이중모듈러 연결의 범주와 동치가 되도록 구성된다.
• $\Omega^1$ 과 $\frak{X}^1$ 가 중심성 이중모듈러일 경우, 이 구성은 이중모듈러 연결을 분류하는 호프 대수대 $H\frak{X}^1$를 유도한다.
• 평탄한 이중모듈러 연결의 경우, $\Omega^2$ 도 중심성을 갖는다고 가정할 때 호프 대수대 $\mathcal{D}\frak{X}$를 구성하며, 이는 가환 경우에 고전적 리-린하르트 호프 대수대로 몫으로 복원된다.
• 논문은 $\mathcal{D}\frak{X}$에서 역행렬 항등원의 존재 조건을 제공하며, 이는 $A$ 가 $\mathcal{D}\frak{X}$ 의 오른쪽 작용을 갖는 것과 동치임을 보여준다.
• 정리 4.13에서 구성된 항등원은 몫 관계를 적용한 후 [20]의 것과 일致함을 보여주며, 이는 이전 연구와의 일致성을 확인한다.
• 자코비 항등식이나 $\Omega^3$ 로의 확장 필요 없이도 평탄성이 충분함을 보여주며, 전체 리 대수대의 자료가 필요 없이도 호프 대수대 구조가 성립함을 보여준다.