[논문 리뷰] Hopf bifurcation in a delayed reaction-diffusion-advection population model

Shanshan Chen, Yuan Lou외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 07.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 비균일한 환경을 가진 지연 반응-확산-유동 인구 모델에서 허프 비 bifurcation를 조사한다. 타원형 연산자의 주 특성값 주변에서 공간적으로 비균일한 양의 정 steady 상태의 안정성 분석을 통해, 저자들은 시간 지연이 유동성과 공간적 비균일성에도 불구하고 불안정성을 유도하고, 허프 비 bifurcation를 통해 진동 패턴을 유도할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we investigate a reaction-diffusion-advection model with time delay effect. The stability/instability of the spatially nonhomogeneous positive steady state and the associated Hopf bifurcation are investigated when the given parameter of the model is near the principle eigenvalue of an elliptic operator. Our result implies that time delay can make the spatially nonhomogeneous positive steady state unstable for a reaction-diffusion-advection model, and the model can exhibit oscillatory pattern through Hopf bifurcation.

연구 동기 및 목표

• 지연 반응-확산-유동 인구 모델에서 공간적으로 비균일한 양의 정 steady 상태의 안정성과 불안정성을 연구하기 위해.
• 공간적 비균일성과 유동성이 존재하는 상황에서 시간 지연이 허프 비 bifurcation를 유도할 수 있는지 조사하기 위해.
• 이 모델에서 허프 비 bifurcation를 통해 진동하는 해가 나타나는 조건을 규명하기 위해.
• 분지하는 주기적 궤도의 방향성과 안정성에 대한 명시적 공식을 유도하기 위해.
• 이론적 결과를 영역 조건이 0인 경우로 확장하고 수치적으로 검증하기 위해.

제안 방법

• 원래 모델을 변수를 변경하여 유동항을 단순화하고, 지연 비선형성을 가진 반응-확산 시스템으로 환원하기 위해.
• 가정 (A₁) 하에 타원형 연산자의 주 특성값을 사용하여 양의 정 steady 상태 주변의 선형화된 연산자의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해.
• 센터 다원형 축소와 정규형 이론을 적용하여 허프 비 bifurcation하는 주기적 궤도의 방향성과 안정성에 대한 명시적 공식을 도출하기 위해.
• 소수의 매개변수에 대해 분지 방정식의 매끄러운 해의 분지가 존재함을 보이기 위해 은직함수정리를 적용하기 위해.
• 비선형 연산자의 프레셰 도함수의 가역성을 검증하여 분지 방정식의 해가 존재함을 확립하기 위해.
• 선형화된 시스템의 고유값과 위상각을 바탕으로 허프 비 bifurcation가 발생하는 임계 지연값 τₙ(λ)을 표현하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 비균일한 성장률을 가진 반응-확산-유동 모델에서 시간 지연이 허프 비 bifurcation를 유도할 수 있는가?
• RQ2 유동성이 존재하는 상황에서 시간 지연가 공간적으로 비균일한 양의 정 steady 상태의 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이러한 모델에서 허프 비 bifurcation를 통해 진동 패턴이 나타나는 조건은 무엇인가?
• RQ4 분지하는 주기적 궤도의 방향성과 안정성은 무엇인가?
• RQ5 임계 지연값 τₙ(λ)은 확산 계수와 공간적 비균일성에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 0 < λ* - λ* ≪ 1 인 λ ∈ (λ*, λ*] 에서, 공간적으로 비균일한 양의 정 steady 상태에서 허프 비 bifurcation가 발생하는 지연값의 수열 {τₙ(λ)}ₙ=₀^∞ 이 존재한다.
• 시간 지연 r는 공간적으로 비균일한 양의 정 steady 상태를 불안정하게 만들며, 이는 지연 없이 안정한 시스템에서도 진동 행동을 유도할 수 있음을 의미한다.
• 분지하는 주기적 궤도의 방향성과 안정성은 센터 다원형 축소와 정규형 이론을 통해 유도된 명시적 공식에 의해 결정된다.
• d ∈ [d*, 1/λ*) 에서, 원래 모델 (1.2)에서 허프 비 bifurcation가 발생하는 지연값의 수열 {rₙ(d)}ₙ=₀^∞ 가 존재한다.
• 임계 지연 τₙ 은 τₙ = (θₙ + 2nπ)/νₙ 로 주어지며, 여기서 νₙ 과 θₙ 은 선형화된 시스템의 고유값과 위상각에 의해 결정된다.
• 결과는 영역 조건이 0인 모델로 확장되었으며, 수치 시뮬레이션은 이론적 예측된 진동 패턴을 확인한다.