[논문 리뷰] Hopf Galois Structures on Primitive Purely Inseparable Extensions

Alan Koch|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 29.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 $ p $를 가진 체 $ K $ 위에서 차수 $ p^n $ ($ n \geq 2 $)인 무한한 수의 단순 생성자를 가진 유한차원, 가환, 코가환, 국소-국소 Hopf 대수 $ H $의 무한한 가닥을 구성한다. 이러한 $ H $들은 순수하게 비가역적인 확장 $ L/K $의 차수 $ p^n $이 $ H $-Galois 객체가 되게 한다. 이 구성은 $ K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $에 의해 매개변수화된 $ n-1 $개의 동형류를 제공하며, $ K $에 따라 $ L/K $가 무한히 많은 서로 비동형인 $ H $에 대해 Hopf Galois가 될 수 있음을 보여주며, 이는 분리 가능한 경우의 유한 분류와 뚜렷하게 대비된다.

ABSTRACT

Let $L/K$ be a primitive purely inseparable extension of fields of characteristic $p$, $\left[ L:K ight] >p.$ It is well known that $L/K$ is Hopf Galois for some Hopf algebra $H$, and it is suspected that $L/K$ is Hopf Galois for numerous choices of $H$. We construct a family of $K$-Hopf algebras $H$ for which $L$ is an $H$-Galois object. For some choices of $K$ we will exhibit an infinite number of such $H.$ We provide some explicit examples of the dual, Hopf Galois, structure on $L/K.$

연구 동기 및 목표

• 차수 $ p^n $ ($ n \geq 2 $)인 순수하게 비가역적인 확장 $ L/K $가 $ H $-Galois 객체가 되게 하는 모든 유한차원, 가환, 코가환, 국소-국소 $ K $-Hopf 대수 $ H $를 규명하는 것.
• 일부 체 $ K $에 대해 이러한 Hopf 대수 $ H $의 수가 유한하지 않음을 보여주며, 이는 분리 가능한 경우의 유한 분류와 대비된다.
• 단순 생성자와 잘라낸 다항식 구조를 사용하여 이러한 Hopf 대수와 그들의 $ L $ 위에서의 작용을 명시적으로 대수적으로 구성하는 것.
• 일반적인 모듈러 확장으로의 구성 확장을 위해 단순 확장의 구조를 텐서곱으로 조합하는 것.
• 모듈러 확장에서의 모든 국소-국소 Hopf Galois 구조가 제시된 가닥에서 유도되지 않음을 보이며, 더 일반적인 구조가 존재함을 시사하는 것.

제안 방법

• 다항식 대수 $ K[t]/(t^{p^n}) $의 몫으로서 $ K $-Hopf 대수 $ H_{n,r,f} $를 구성하며, 코승법을 반복적 $ p $-거듭제곱과 매개변수 $ f \in K^\times $를 통해 정의한다.
• $ x^{p^n} \in K $인 $ L = K(x) $ 위에서의 $ H $-작용을 $ s < r $일 때는 $ z_{p^s}(x^i) = i_{(s)} x^{i - p^s} $로 정의하고, $ s = r $일 때는 $ f $를 포함하는 수정된 공식을 사용한다.
• $ H $와 그 선형 쌍대 $ H^* $ 사이의 대칭성을 이용하여 $ \gamma: L \otimes L \to L \otimes H $, $ \gamma(a \otimes b) = (a \otimes 1) \alpha(b) $의 동형사상으로서 $ L $이 $ H $-Galois 객체임을 보인다.
• $ r $에 대해 분류하며, $ 0 < r < n $이면 각 $ r $에 대해 동형류는 $ f \in K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $의 코셋에 따라 결정된다.
• 일반적인 모듈러 확장을 위해 $ L/K $를 단순 확장의 텐서곱으로 분해하고, 대응하는 Hopf 대수 $ H_{n_i, r_i, f_i} $의 텐서곱을 구성한다.
• Hopf 대수의 대수적 구조가 핵심적임을 보여주며, 코알gebroid의 구조는 자연스럽게 코행동을 지원하지만, 모든 잘라낸 다항식 대수 $ L \otimes L $가 이러한 Hopf 대수의 구조를 가질 수는 없으며, 일부 $ H $는 단순 생성자가 아니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 $ p^n $ ($ n \geq 2 $)인 순수하게 비가역적인 확장 $ L/K $에 대해, $ L $이 $ H $-Galois 객체가 되게 하는 서로 비동형인 유한차원, 가환, 코가환, 국소-국소 $ K $-Hopf 대수 $ H $는 몇 개인가?
• RQ2 일부 체 $ K $에 대해 이러한 Hopf 대수의 수가 무한해질 수 있는가? 만약 그렇다면, 어떤 조건에서 그러한 일이 일어나는가?
• RQ3 특히 곱셈군 $ K^\times $의 구조가 이러한 Hopf 대수의 분류에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 이 구성은 임의의 모듈러 확장으로 일반화될 수 있는가? 만약 그렇다면, 그 일반화의 한계는 무엇인가?
• RQ5 제시된 가닥에서 유도되지 않는 모듈러 확장에서의 Hopf Galois 구조가 존재하는가? 만약 그렇다면, 그것들은 어떤 특징을 지닌다?

주요 결과

• 각 $ r $에 대해 $ 1 \leq r \leq n-1 $이면, $ f \in K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $에 의해 매개변수화된 $ K $-Hopf 대수 $ H_{n,r,f} $의 가닥이 존재하며, 각각 $ L/K $를 $ H $-Galois 객체로 만든다.
• 만약 $ K^\times / (K^{p^{r+1}-1})^\times $가 무한하다면 이러한 Hopf 대수의 수는 유한하지 않으며, 이는 $ \mathbb{F}_p(T) $와 같은 많은 불완전한 체 $ K $에서 발생한다.
• 각 $ H $에 대해, $ L $을 $ H $-Galois 객체로 표현하는 데 $ p^{n-1}(p-1) $가지의 서로 다른 방법이 존재하며, 이는 서로 다른 생성자 선택에 해당한다.
• $ H^* $는 $ 0 \leq j_s \leq p-1 $인 단항식 $ \prod_{s=0}^{n-1} z_{p^s}^{j_s} $로 생성되는 $ K $-모듈로서, $ L $ 위에서의 작용은 명시적으로 계산 가능하다.
• 텐서곱을 통해 일반적인 모듈러 확장으로의 구성 확장이 가능하다: $ L = \bigotimes_{i=1}^s L_i $이고 각 $ L_i/K $가 차수 $ p^{n_i} $인 단순 확장이면, $ H = \bigotimes_{i=1}^s H_{n_i,r_i,f_i} $는 $ L $이 $ H $-Galois 객체가 되게 한다.
• 단순 생성자가 아니며 제시된 가닥에서 유도되지 않는 모듈러 확장에 대한 $ H $-Galois 구조가 존재하며, 이는 국소-국소 Hopf Galois 구조의 전체 집합이 제시된 클래스보다 엄밀히 더 크다는 것을 시사한다.