[논문 리뷰] Hopf quasigroups and the algebraic 7-sphere

J. Klim, Shahn Majid|ArXiv.org|2009. 06. 27.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 6인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모프라프 루프와 역성질을 가진 쿼아지그룹을 일반화하는 대수적 구조로 호프 퀼래스그룹과 호프 코퀄래스그룹을 도입하며, 7차원 구면의 좌표 대수 $k[S^7]$를 비가환, 비결합, 모프라프 호프 코퀄래스그룹으로 기술하는 프레임워크를 제공한다. 이는 $S^7$의 평행화 가능성을 짧은 대수적 증명으로 보이고, 오кт론의 구조 상수를 이용해 좌우 불변 벡터장으로 $χ}_2$의 구조 상수를 유도한다.

ABSTRACT

We introduce the notions of Hopf quasigroup and Hopf coquasigroup $H$ generalising the classical notion of an inverse property quasigroup $G$ expressed respectively as a quasigroup algebra $k G$ and an algebraic quasigroup $k[G]$. We prove basic results as for Hopf algebras, such as anti(co)multiplicativity of the antipode $S:H o H$, that $S^2=\id$ if $H$ is commutative or cocommutative, and a theory of crossed (co)products. We also introduce the notion of a Moufang Hopf (co)quasigroup and show that the coordinate algebras $k[S^{2^n-1}]$ of the parallelizable spheres are algebraic quasigroups (commutative Hopf coquasigroups in our formulation) and Moufang. We make use of the description of composition algebras such as the octonions via a cochain $F$ introduced in \cite{Ma99}. We construct an example $k[S^7] times\Z_2^3$ of a Hopf coquasigroup which is noncommutative and non-trivially Moufang. We use Hopf coquasigroup methods to study differential geometry on $k[S^7]$ including a short algebraic proof that $S^7$ is parallelizable. Looking at combinations of left and right invariant vector fields on $k[S^7]$ we provide a new description of the structure constants of the Lie algebra $g_2$ in terms of the structure constants $F$ of the octonions. In the concluding section we give a new description of the $q$-deformation quantum group $\C_q[S^3]$ regarded trivially as a Moufang Hopf coquasigroup (trivially since it is in fact a Hopf algebra) but now in terms of $F$ built up via the Cayley-Dickson process.

연구 동기 및 목표

• 모프라프 루프와 특히 7차원 구면을 포함한 비결합 대수적 구조, 예를 들어 호프 대수의 일반화를 위한 프레임워크를 개발한다.
• 호프 대수 이론을 비결합, 비가환, 비공액성 구조를 포함하도록 호프 퀼래스그룹과 호프 코퀄래스그룹을 통해 일반화한다.
• 호프 코퀄래스그룹으로서의 $k[S^7]$ 위에서의 미분법을 사용하여 $S^7$의 평행화 가능성을 대수적으로 증명한다.
• 좌우 불변 벡터장을 통해 $χ}_2$의 구조 상수를 오кт론의 구조 상수 $F$로 표현한다.
• 카이리-딕슨 과정에서 유도된 $F$-코체인을 사용하여 $q$-데오퍼메이션 양자군 $χ}_q[S^3]$를 재구성한다.

제안 방법

• 곱이 비결합적이며 코곱이 비공액성인 호프 대수의 일반화로 호프 퀼래스그룹과 호프 코퀄래스그룹을 정의한다.
• 카이리-딕슨 구성에서 유도된 코체인 $F$를 사용하여, 오кт론을 포함한 복합 대수를 모델링하는 왜곡된 군 퀼라대수 $k_F\mathbb{Z}_2^n$를 정의한다.
• 오кт론의 $F$-코체인을 사용하여, 가환적이지만 비결합적이며 모프라프 성질을 가진 호프 코퀄래스그룹으로서의 좌표 대수 $k[S^7]$를 구성한다.
• 코곱과 쌍대원소를 사용하여 $k[S^7]$ 위에 좌우 불변 벡터장 $D_{ij}$를 정의하고, 그들의 교환자(commutator)를 계산하여 리 대수의 구조를 복원한다.
• $F$-코체인과 $χ}$-대칭을 사용하여 $χ}[S^{2^n-1}]$ 위에 $*$-역전 및 코곱을 정의함으로써, $χ}_q[S^3]$이 $*$-호프 대수로서 실현될 수 있도록 한다.
• 명시적인 텐서 표현식을 통해 모프라프 항등식과 비공액성의 성립 여부를 $F$, $ψ}$, $χ}$에 관여하여 확인하였으며, 마스터캔다(Mathematica)를 통한 수치적 검증을 수행하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 좌표 대수 $k[S^7]$는 비결합적이며 비가환적이며 모프라프 성질을 갖는 호프 코퀄래스그룹으로 자연스럽게 기술될 수 있는가?
• RQ2 호프 코퀄래스그룹의 구조를 기반으로 한 미분법을 사용하여 $S^7$의 평행화 가능성을 어떻게 대수적으로 증명할 수 있는가?
• RQ3 좌우 불변 벡터장을 통해 $k[S^7]$ 위에서 오кт론의 구조 상수 $F$로부터 $χ}_2$의 구조 상수를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ4 $q$-데오퍼메이션 양자군 $χ}_q[S^3]$을 카이리-딕슨 과정에서 유도된 $F$-코체인을 사용하여 어떻게 재구성할 수 있는가?
• RQ5 복소수 생성자와 $F$-코체인을 사용하여 $χ}[S^7]$ 위의 코곱과 $*$-역전의 명시적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 좌표 대수 $k[S^7]$는 오кт론의 $F$-코체인을 통해 정의된 비공액성 코곱을 갖는 가환적이지만 비결합적이며 모프라프 성질을 가진 호프 코퀄래스그룹이다.
• 논문은 $k[S^7]$ 위의 좌우 불변 벡터장이 교환자에 대해 닫혀 있음을 보여줌으로써, $S^7$의 평행화 가능성을 짧은 대수적 증명으로 제시한다.
• $χ}_2$의 구조 상수는 오кт론의 구조 상수 $F$와 연관자 $ψ}$로 표현되며, $F$-코체인을 통해 유도된 명시적 교환자 관계 $[D_{ij}, D_{kl}]$가 도출된다.
• $n=2$일 때, 벡터장의 교환자 대수는 $χ}(3)$을 재현하여 $S^3$의 알려진 리 대수의 구조와 일치함을 확인한다.
• $χ}[S^7]$ 위의 코곱은 $\Delta z_0 = z_0 \otimes z_0 - \sum_i z_i \otimes z_i^*$ 및 $\Delta z_i = z_i \otimes z_0^* + z_0 \otimes z_i^* + \sum_{j,k} \varepsilon_{ijk} z_j^* \otimes z_k^*$로 명시적으로 계산되었으며, 이는 허니온의 $F$-코체인을 사용한다.
• $q$-데오퍼메이션 $χ}_q[S^3]$는 생성자 $z_0, z_1$가 $z_0 z_1 = q z_1 z_0$, $z_0^* z_1 = z_1 z_0^*$, $z_0 z_0^* + z_1 z_1^* = 1$를 만족하며, $F$-기반 코곱과 호환되는 $*$-호프 대수로서 실현된다.