[논문 리뷰] Horizontal variation of Tate--Shafarevich groups

Ashay Burungale, Haruzo Hida외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 허수 정수환의 이상적 분할 문자를 통해 왜곡된 타테-샤파레비치 군의 $p$-부분의 수평적 변동성을 탐구한다. 보조형 양자 대수에서의 자동형식, 토릭 주기와 히그너 점의 오일러 체계, 그리고 시무라 집합에서의 등분포 결과를 이용하여, $p$-정규 문자 $χ$의 수가 $D_K$의 판별식에 대해 $(\ln |D_K|)^{1-\epsilon}$ 이상으로 증가함을 보인다. 이는 $p$와 체 $K$에 대한 약한 조건 하에 성립하며, 이는 $\mathrm{GL}_2$-유형 모티브의 맥락에서 쿠머의 정규성의 수평적 동반자이다.

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve over $\mathbb{Q}$. Let $p$ be an odd prime and $ι: \overline{\mathbb{Q}}\hookrightarrow \mathbb{C}_p$ an embedding. Let $K$ be an imaginary quadratic field and $H_{K}$ the corresponding Hilbert class field. For a class group character $χ$ over $K$, let $\mathbb{Q}(χ)$ be the field generated by the image of $χ$ and $\mathfrak{p}_χ$ the prime of $\mathbb{Q}(χ)$ above $p$ determined via $ι_p$. Under mild hypotheses, we show that the number of class group characters $χ$ such that the $χ$-isotypic Tate--Shafarevich group of $E$ over $H_{K}$ is finite with trivial $\mathfrak{p}_χ$-part increases with the absolute value of the discriminant of $K$.

연구 동기 및 목표

• 고정된 도함수와 무한대 유형을 가진 허수 정수환 $K$를 변화시키며, $\mathbb{Q}$ 위의 $\mathrm{GL}_2$-유형 아벨 다양체에 대한 타테-샤파레비치 군의 $p$-부분의 수평적 변동성을 연구한다.
• 쿠머의 $p$-정규성 개념을 클래스 군에서 히불트 클래스 체 위의 타테-샤파레비치 군의 $\chi$-동형 부분군으로 확장한다.
• 판별식 $|D_K|$에 따라 증가하는, $\chi$-동형 부분군의 $\mathfrak{p}_\chi$-부분이 자명한 $p$-정규 문자 $\chi$의 수에 하한을 설정한다.
• 이 수평적 가닥에서 분석적 샤(Shafarevich)의 $p$-부분과 대수적 타테-샤파레비치 군을 통합적으로 다룬다.

제안 방법

• 정의된 및 비정의된 양자 대수에서의 자동형식 이론을 활용하여 $L$-함수의 특수값을 모티브의 산술 불변량과 연결한다.
• 토릭 주기와 히그너 점의 오일러 체계를 사용하여 $p$-진 $L$-함수를 구성하고, 타테-샤파레비치 군의 $\chi$-동형 부분의 $p$-진 값의 크기를 통제한다.
• 정의된 양자 대수에서 유래한 시무라 집합의 특수점에 대한 미셸의 등분포 정리를 적용하여, $\chi$-동형 부분의 분포를 통제한다.
• 비정의된 양자 대수에서 유래한 시무라 곡선의 특수점의 자리키 밀도를 활용하여 $p$-진 $L$-함수와 히그너 점의 비영성 보장.
• $p$-진 $L$-함수의 비영성과 갈루아 표현의 구조를 통해 히그너 점의 $p$-비나누어짐을 분석한다.
• 블로흐-카토 추측과 마조르-와일즈 정리에 기반하여, 분석적 샤의 $p$-최소성과 대수적 타테-샤파레비치 군의 $\mathfrak{p}_\chi$-부분의 자명성 사이의 연결 고리를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수 정수환 $K$의 판별식 $D_K$에 따라, $\chi$-동형 부분군의 $\mathfrak{p}_\chi$-부분이 자명한 $p$-정규 문자 $\chi$의 수는 어떻게 증가하는가?
• RQ2 토릭 주기와 히그너 점의 오일러 체계를 사용하여 타테-샤파레비치 군의 $p$-부분의 수평적 변동성을 통제할 수 있는가?
• RQ3 정의된 양자 대수에서 유래한 시무라 집합의 특수점의 등분포는 $K$의 분할군 내에서 $p$-정규 문자의 분포에 어느 정도 影響을 미치는가?
• RQ4 이 가닥에서 분석적 샤의 $p$-부분(버치-스위너튼다이어 추측에 의해 예측됨)과 $\chi$-동형 대수적 타테-샤파레비치 군 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 $p$, $K$, 그리고 갈루아 표현 $\rho_{A,\mathfrak{p}}$에 어떤 조건이 성립할 경우, $p$-정규 문자의 수가 $\ln |D_K|$의 거듭제곱으로 하한을 받는가?

주요 결과

• $p$-정규 문자 $\chi \in \widehat{\mathrm{Cl}}_K$의 수 중에서 $\chi$-동형 부분군의 $\mathfrak{p}_\chi$-부분이 자명한 $\cyr X(E/H_K)^\chi$의 수는 $p$와 $K$에 대한 약한 가정 하에 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $(\ln |D_K|)^{1-\epsilon}$ 이상으로 증가한다.
• 이 증가율은 분석적 샤(버치-스위너튼다이어 추측에 의해 예측됨)와 대수적 타테-샤파레비치 군 양쪽 모두에서 동일한 조건 하에 균일하게 성립한다.
• 이 결과는 히그너 점과 토릭 주기와 연관된 $p$-진 $L$-함수의 비영성에 의해 보장되며, 이는 시무라 곡선의 특수점의 자리키 밀도에 기반한다.
• $p$-정규성 조건은 $\mathbb{Q}(\chi)$의 $\chi$-동형 분할군의 $\mathfrak{p}_\chi$-부분이 자명함을 의미하며, 쿠머의 $p$-정규성 개념을 일반화한다.
• 핵심 기술 도구는 정의된 양자 대수의 시무라 집합에서 특수점의 미셸 등분포와, $p$-진 $L$-함수의 비영성에 기반한 히그너 점의 $p$-비나누어짐이다.
• 이러한 하한은 루트 수가 $+1$ 또는 $-1$인 경우에 모두 균일하게 성립하며, 토릭 주기 및 히그너 점의 프레임워크에서 별개이지만 평행적인 증명 기법을 사용한다.