[논문 리뷰] How Far Should the Principle of Relativity Go ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|2007. 10. 01.

Mathematical and Theoretical Analysis인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 물리학 이론을 실수 또는 복소수에 국한하지 않고, 체의 구조가 아닌 더 넓은 비-아르키메데스 체계(예: 축소 거듭제곱 대수)를 사용하는 것에 따라 원리의 상대성 원리를 참조 프레임의 공변성에서 더 넓은 범위로 확장한다. 체를 더 일반적인 대수로 대체함으로써, 이론적 물리 법칙을 더 깊이 있고 광범위하게 기술할 수 있으며, 무한대와 발산을 자연스럽게 다룰 수 있게 되어, 양자장론과 일반상대성 이론에서 오랫동안 지속된 무한대 문제 해결을 위한 새로운 길을 제시한다.

ABSTRACT

The Principle of Relativity has so far been understood as the {\it covariance} of laws of Physics with respect to a general class of reference frame transformations. That relativity, however, has only been expressed with the help of {\it one single} type of mathematical entities, namely, the scalars given by the usual continuum of the field $\mathbb{R}$ of real numbers, or by the usual mathematical structures built upon $\mathbb{R}$, such as the scalars given by the complex numbers $\mathbb{C}$, or the vectors in finite dimensional Euclidean spaces $\mathbb{R}^n$, infinite dimensional Hilbert spaces, etc. This paper argues for {\it progressing deeper and wider} in furthering the Principle of Relativity, not by mere covariance with respect to reference frames, but by studying the possible covariance with respect to a {\it large variety} of algebras of scalars which extend significantly $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$, variety of scalars in terms of which various theories of Physics can equally well be formulated. First directions in this regard can be found naturally in the simple Mathematics of Special Relativity, the Bell Inequalities in Quantum Mechanics, or in the considerable amount of elementary Mathematics in finite dimensional vector spaces which occurs in Quantum Computation. The large classes of algebras of scalars suggested, which contain $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$ as particular cases, have the important feature of typically {\it no longer} being Archimedean, see Appendix, a feature which can prove to be valuable when dealing with the so called "infinities" in Physics. The paper has a Comment on the so called "end of time".

연구 동기 및 목표

• 물리 이론이 실수나 복소수 스칼라 외에는 사용할 수 없다는 가정을 도전하며, 이러한 스칼라들은 아르키메데스 성질을 가지며 무한대의 크기를 구분할 수 없다는 점을 지적한다.
• 이론 물리학이 아르키메데스 체계에 대한 검토되지 않은 의존성에 의해 얽매여 있으며, 이로 인해 양자장론과 일반상대성 이론에서 반복적으로 발생하는 무한대 문제에 갇혀 있음을 주장한다.
• 물리 이론의 상대성 원리가 참조 프레임의 변환에 대한 공변성에서 물리 이론에 사용되는 스칼라의 대수적 구조 변화에 대한 공변성으로 일반화되어야 한다고 제안한다.
• 행렬 대수나 축소 거듭제곱 대수와 같은 비-아르키메데스 대수들이 기존 스칼라 체계의 대안으로서 수학적으로 풍부하고 물리적으로 의미 있는 타당한 대체 체계가 될 수 있음을 보여준다.
• 포트랴긴의 정리에 의해 제약을 받는 체의 구조를 버림으로써, 더 넓은 범위의 비-아르키메데스 대수 체계에 접근할 수 있으며, 이는 물리학에서 무한대를 다루는 데 더 적합하다는 것을 보여준다.

제안 방법

• 실수나 복소수의 수열을 초월 필터로 나누어 비-아르키메데스 대수를 구성하는 축소 거듭제곱 대수를 사용하여, R과 C를 부분 구조로 포함하는 구조를 만든다.
• 체보다 더 엄격하지 않은 대수적 구조(비가역 원소를 允허하는)를 적용함으로써, 행렬 대수를 물리 이론의 타당한 스칼라 체계로 사용할 수 있음을 보여준다.
• R^N과 같은 수열 공간에 부분 순서 ≼를 도입하여 비-아르키메데스 행동을 정의하며, x ≠ 0 이더라도 모든 n ∈ N에 대해 nx ≼ y 가 성립하는 경우를 고려한다.
• 표준 부분 순서를 갖는 R^n(사전순서) 또는 R^N(좌표별 순서)과 같은 표준 수학적 구조가 아르키메데스 성질(ARCH)을 만족하지 못함을 보여주며, 이는 비-아르키메데스임을 입증한다.
• 포트랴긴의 정리를 사용하여, 비이산 체는 R, C, H뿐이며, H 역시 아르키메데스 성질을 가지므로, 체의 프레임워크 내에서 R과 C를 초월하는 것은 수학적으로 불가능하다고 주장한다.
• 물리 이론이 이러한 비-아르키메데스 대수에서 재구성될 수 있으며, 물리적 내용은 유지하면서도 무한대와 발산을 더 세밀하게 다룰 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리 이론에서 사용하는 스칼라의 대수적 구조 변화에 대한 공변성까지 포함하여 상대성 원리가 參조 프레임의 변환 공변성에서 확장될 수 있는가?
• RQ2 왜 표준 물리 이론은 항상 무한대에 부딪히는가? 이는 R과 C와 같은 아르키메데스 스칼라 체계의 사용과 관련이 있는가?
• RQ3 R과 C의 비-아르키메데스 대체 체계로서 실용적이고 수학적으로 풍부한 대안이 존재하는가?
• RQ4 물리 이론에서 더 일반적인 대수로의 전환을 통해 체의 구조를 포기하는 수학적·물리적 의미는 무엇인가?
• RQ5 축소 거듭제곱 대수와 같은 비-아르키메데스 대수는 양자역학, 상대성 이론, 양자장론을 재구성하는 데 일관되고 유용한 프레임워크를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 축소 거듭제곱 대수나 행렬 대수와 같은 비-아르키메데스 대수의 집합은 아르키메데스 체의 집합보다 훨씬 더 넓으며, 후자는 수학적 공간 내에서 무시무시할 정도로 미미한 부분집합이다.
• 순서 n ≥ 2인 행렬 대수는 비가역 원소가 존재하므로 체가 아니지만, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 0 행렬식 원소를 제외한 나눗셈을 모두 지원하므로 물리 이론의 기초로 적합하다.
• 표준 부분 순서를 갖는 무한차원 공간 R^N에서는 아르키메데스 성질(ARCH)이 성립하지 않으며, 사전순서를 갖는 유한차원 공간 R^2에서도 마찬가지로 성립하지 않아, 아르키메데스 체계는 흔하지 않음을 입증한다.
• R^N에 부분 순서 ≼를 도입함으로써, x ≠ 0 이더라도 모든 n ∈ N에 대해 nx ≼ y 를 만족하는 수열 x와 y가 존재함을 보여주며, 이는 (ARCH+)를 위반함으로써 비-아르키메데스 행동임을 증명한다.
• 포트랴긴의 정리는 비이산 체는 반드시 R, C, H여야 하며, 이들 모두가 아르키메데스 성질을 가지므로, 비-아르키메데스 체계는 체일 수 없음을 증명하며, 이는 대수로의 전환을 필수로 한다.
• 논문은 R과 C와 같은 아르키메데스 체계에 국한하는 제약이 자연스럽거나 필수적인 선택이 아니며, 이는 이론 물리학의 범위를 제한하고 반복적인 무한대 문제를 야기하는 인위적인 제한임을 결론 내린다.