[논문 리뷰] How is spontaneous symmetry breaking possible?

David J. Baker, Hans Halvorson|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 16.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자장론의 기초적 역설을 해결한다: 와이너의 정리에 따르면 모든 대칭성은 유니터리 연산자로 표현되어야 하지만, 무한체계에서의 자발적 대칭성 붕괴(SSB)는 대칭성이 비유니터리 방식으로 표현되어야 한다는 요구를 수반한다. 저자들은 유니터리 연산자가 벡터와 상태 사이의 대응관계를 변화시킴으로써 유니터리 비등가 표현들 사이를 연결할 수 있음을 보여주며, 표현들 간의 유니터리 동치가 필요 없이도 물리적 동치성을 유지할 수 있음을 밝힌다.

ABSTRACT

We pose and resolve a seeming paradox about spontaneous symmetry breaking in the quantum theory of infinite systems. For a symmetry to be spontaneously broken, it must not be implementable by a unitary operator. But Wigner's theorem guarantees that every symmetry is implemented by a unitary operator that preserves transition probabilities between pure states. We show how it is possible for a unitary operator of this sort to connect the folia of unitarily inequivalent representations. This result undermines interpretations of quantum theory that hold unitary equivalence to be necessary for physical equivalence.

연구 동기 및 목표

• 와이너의 정리가 모든 대칭성을 유니터리 구현을 요구하는 것과, 무한 양자체계에서 자발적 대칭성이 붕괴될 경우 대칭성이 유니터리로 구현될 수 없다는 요구 사이의 명백한 모순을 해결하기.
• 대칭성의 상태에 대한 유니터리 구현 가능성과 그로 연결되는 힐베르트 공간 표현 간의 유니터리 동치성 사이의 구분을 명확히 하기.
• 유니터리 비등가 표현들 사이에서 유니터리 연산자가 표현들 간의 유니터리 동치성을 암시하지 않더라도 대칭성으로 작용할 수 있음을 보여주기.
• 알제브라적 양자장론에서 물리적 동치성을 표현 간의 유니터리 동치성과 동일시하는 해석을 도전하기.
• GNS 구성과 상태-벡터 대응관계가 서로 다른 표현들 사이에서 대칭성을 이해하는 데서 수행하는 역할을 명확히 하기.

제안 방법

• 양자이론의 대수적 접근 방식을 사용하여, 양자체계를 C*-대수와 그 힐베르트 공간 위의 표현으로 모델링한다.
• 각 상태와 고유한 순환 벡터를 갖는 힐베르트 공간 표현 사이의 일대일 대응을 보장하기 위해 GNS 구성법을 적용한다.
• 와이너의 정리에서 요구하는 바와 같이 순수 상태들 사이의 전이 확률을 유지하는 Wigner 유니터리 연산자 W의 개념을 도입한다.
• 고정된 표현 내에서 벡터 위에 작용하는 Wigner 유니터리 W와 서로 다른 표현들을 유니터리 동치로 연결하는 상호연결 유니터리 V 사이의 차이를 구분한다.
• 대칭 변환 α가 상태 위에 작용하는 방식을, (π′)* = α′∘π*의 관계를 사용하여 벡터와 관측량 사이의 대응관계를 재정의함으로써 분석한다.
• 대칭성이 상태-관측량 대응관계의 변화를 통해 구현될 경우, 표현들이 유니터리 비등가일지라도 항등사상이 Wigner 유니터리 W로 기능할 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 대칭성이 와이너의 정리의 의미에서 유니터리로 구현될 수 있음에도 불구하고, 무한 양자체계에서 자발적 대칭성이 붕괴되는가?
• RQ2 대칭성의 상태에 대한 유니터리 구현 가능성과 그로 연결되는 힐베르트 공간 표현 간의 유니터리 동치성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 유니터리 비등가 표현들 사이에서 유니터리 연산자가 어떻게 표현의 동치성을 암시하지 않더라도 대칭성으로 작용할 수 있는가?
• RQ4 자발적 대칭성이 붕괴된 경우 대칭성이 유니터리로 구현될 수 없다는 표준적 요구조건이 왜 와이너의 정리와 모순되지 않는가?
• RQ5 GNS 구성에서의 상태-벡터 대응관계는 서로 다른 표현들 사이에서 대칭성을 해석하는 데 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 대칭성이 와이너의 정리의 의미에서 유니터리로 구현될 수 있으며, 표현들이 유니터리 비등가일지라도, 이는 유니터리 연산자가 표현 자체가 아니라 상태-벡터 대응관계에 작용하기 때문이다.
• Wigner 유니터리 W는 표현들 간의 상호연결 유니터리일 필요가 없으며, 대신 서로 다른 표현들 내에서 어떤 벡터가 어떤 상태를 나타내는지 재정의함으로써 전이 확률을 유지한다.
• 상태 수준에서의 대칭성의 유니터리 구현 가능성은 표현들 간의 유니터리 동치성을 암시하지 않으며, 이는 자발적 대칭성 붕괴에서 발생하는 명백한 역설을 해소한다.
• 대칭성이 α⁻¹에 의한 관측량의 재표기로 구현될 경우, 항등사상이 Wigner 유니터리 W로 기능할 수 있으며, 이는 표현 간의 유니터리 동치가 필요 없이도 물리적 동치성이 유지됨을 보여준다.
• Wigner 유니터리와 상호연결 유니터리 사이의 구분은 물리적 동치성이 표현 간의 유니터리 동치성과 동일시되지 않음을 명확히 한다.
• 논문은 대칭 α가 표현 π의 포일리움 위에 ω를 ω∘α⁻¹로 매핑함으로써 작용할 수 있으며, 이 작용이 π와 π∘α⁻¹가 유니터리 비등가일지라도 W를 통해 유니터리로 구현될 수 있음을 확립한다.