[논문 리뷰] How long does it take to obtain a physical density matrix?

Lukas Knips, Christian Schwemmer외 4명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Quantum Information and Cryptography인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 양자 상태 회복에서 통계적 노이즈—특히 포isson 또는 다항분포 측정 노이즈—가 추정된 밀도 행렬의 고유값 분포가 다중 큐비트 시스템에서 특히 Wigner 반원분포로 수렴함을 보여준다. 이러한 통찰은 물리적으로 타당하지 않은 상태의 위험을 정량화하고, 반원형 고유값 분포를 활용하여 노이즈가 있는 데이터에서 직접 물리적 추정치를 도출하는 방법을 제공하며, 물리적으로 타당하지 않은 해를 피하기 위한 최소 측정 횟수도 유도한다.

ABSTRACT

The statistical nature of measurements alone easily causes unphysical estimates in quantum state tomography. We show that multinomial or Poissonian noise results in eigenvalue distributions converging to the Wigner semicircle distribution for already a modest number of qubits. This enables to specify the number of measurements necessary to avoid unphysical solutions as well as a new approach to obtain physical estimates.

연구 동기 및 목표

• 실험적 불완전성 외의 원인으로 인해 양자 상태 회복에서 물리적으로 타당하지 않은 밀도 행렬 추정이 발생하는 근본 원인을 규명하기 위해.
• 통계적 노이즈만으로도 다중 큐비트 시스템에서 고유값 분포가 물리성에서 얼마나 벗어나는지를 정량화하기 위해.
• 양자 상태 추정에서 물리적으로 타당하지 않은 해를 피하기 위해 필요한 최소 측정 횟수를 설정하기 위해.
• Wigner 반원형 분포를 활용하여 물리적으로 타당하지 않은 측정 데이터에서 직접 물리적 밀도 행렬 추정치를 도출하는 방법을 개발하기 위해.
• 실제 측정 데이터의 경험적 고유값 스펙트럼을 이론적 반원형 분포와 비교하여 비정상적인 대칭성 또는 색깔 노이즈의 존재 여부를 검증하기 위한 가설 검정을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• n-큐비트 시스템의 밀도 행렬을 추정하기 위해 $3^n$개의 측정 설정과 $6^n$개의 상대 빈도를 사용하는 과잉 결정형 파울리 회복을 사용한다.
• 측정 횟수의 통계적 변동을 포isson 또는 다항분포 노이즈로 모델링하고, 추정된 상관 텐서 요소 $\tilde{T}_{\bm{\mu}}$를 정규분포로 근사한다.
• 임의 행렬 이론을 적용하여 추정된 밀도 행렬의 고유값 분포가 $n$이 큰 근처에서 Wigner 반원분포로 수렴함을 보인다.
• 총 측정 횟수 $N$과 시스템 크기 $n$에 대한 함수로 반지름 $R$을 유도하며, $R = 2(5/6)^{n/2} \sqrt{1 - r \cdot 2^{-n}} / \sqrt{N}$ 으로 주어진다. 여기서 $r$은 진짜 상태의 질량이다.
• 경험적 고유값 분포를 이론적 Wigner 반원분포의 누적분포함수(CDF)와 비교하기 위해 Anderson-Darling 검정을 사용하며, 꼬리 부분에 가중치를 두어 이상치를 탐지한다.
• 반지름의 지지역역을 벗어난 고유값이 존재할 경우 귀무가설을 기각하는 효과적 $P$-값을 도입하여 극단적인 이격에 대한 강건성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 상태 회복에서 통계적 노이즈는 어떻게 물리적으로 타당하지 않은 밀도 행렬 추정을 초래하는가?
• RQ2 포isson 또는 다항분포 측정 통계 하에서 다중 큐비트 시스템에서 노이즈가 있는 밀도 행렬 추정치의 고유값 분포는 어떠한가?
• RQ3 Wigner 반원분포를 사용하여 물리적으로 타당하지 않은 해를 피하기 위한 최소 측정 횟수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 고유값 분포를 활용하여 물리적으로 타당하지 않은 측정 데이터에서 직접 물리적 밀도 행렬 추정치를 재구성할 수 있는가?
• RQ5 Wigner 반원분포를 기반으로 한 가설 검정은 실험 데이터에서 비정상적인 대칭성 또는 색깔 노이즈를 탐지할 수 있는가?

주요 결과

• 실험적 불완전성 외에도 통계적 노이즈만으로도 고유값 변동이 Wigner 반원분포를 따르기 때문에 물리적으로 타당하지 않은 밀도 행렬 추정이 발생한다.
• 6큐비트 시스템에서 총 $N=10,000$회의 측정을 수행했을 경우, 완전히 혼합된 상태의 고유값 분포는 반지름 $R \approx 0.0745$인 Wigner 반원분포와 밀접하게 일치한다.
• Wigner 반원분포의 반지름은 $R \propto \sqrt{1 - r \cdot 2^{-n}} / \sqrt{N}$ 로 스케일링되며, 이는 진짜 상태의 질량 $r$을 고려해 고유값 분포의 범위를 예측할 수 있음을 의미한다.
• $r \geq 4$일 경우 반원분포의 중심이 음수로 이동하여 모델과의 불일치를 나타내며, 이는 비정상적인 요소들(예: 정렬 오류)의 존재를 암시한다.
• $r=3$일 경우 Anderson-Darling 검정의 $P$-값은 $10^{-7}$ 이하로 나타나 반원분포 모델과 양호한 일치를 확인한다. 반면 $r \geq 4$일 경우 고유값이 지지역역을 벗어나므로 $P_{\text{eff}} = 0$이 된다.
• Dicke 상태 실험 분석 결과, 낮은 비율의 백색 노이즈가 섞인 질량-3 상태가 지배적이며, 고유값 이상치로 인해 높은 질량 모델은 기각된다.