[논문 리뷰] How noise determines the statistics of simple path dependent systems

Bernat Corominas‐Murtra, Rudolf Hanel외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 30.

Statistical Mechanics and Entropy인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 샘플 공간 감소(SSF) 과정이 구동된 비평형 시스템의 정적 통계를 이해하는 데 통합적인 프레임워크를 제공한다고 제안한다. 구동 과정을 상태에 의존하거나 일정한 비율로 모델링함으로써, 이 프레임워크는 정확한 거듭제곱 법칙, 지수 함수, 정규 분포 및 기타 분포를 도출한다. 이는 복잡한 시스템에서 관찰되는 보편적인 꼬리가 두꺼운(heavy-tailed) 및 척도 불변(scale-invariant) 통계의 기계적 설명을 제공한다.

ABSTRACT

Sample space reducing (SSR) processes offer a simple analytical way to understand of the origin and ubiquity of power-laws in many path-dependent complex systems. SRR processes show a wide range of applications that range from fragmentation processes, language formation to cascading pro- cesses. Here we argue that they also offer a natural framework to understand stationary distributions of generic driven non-equilibrium systems that are composed of a driving and a relaxing process. We show that the statistics of driven non-equilibrium systems can be derived from the understanding of the nature of the underlying driving process. For constant driving rates exact power-laws emerge with exponents that are related to the driving rate. If driving rates become state-dependent, or if they vary across the life-span of the process, the functional form of the state-dependence determines the statistics. Constant driving rates lead to exact power-laws, a linear state-dependence function yields exponential or Gamma distributions, a quadratic function gives the normal distribution. Logarithmic and power-law state dependence leads to log-normal and stretched exponential distribution functions, respectively. Also Weibull, Gompertz and Tsallis-Pareto distributions arise naturally from simple state-dependent driving rates. We discuss a simple physical example of consecutive elastic collisions that exactly represents a SSR process.

연구 동기 및 목표

• 구동된 비평형 시스템의 통계가 그들 내부의 구동 과정의 성질과 어떻게 연결되는지 이론적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 다양한 형태의 구동 비율(일정, 선형, 이차, 로그, 거듭제곱 법칙)이 결과로 나타나는 정적 분포에 어떻게 영향을 주는지 조사하기 위해.
• SSF 과정이 실제로 관측된 다양한 분포, 예를 들어 거듭제곱 법칙, 지수 함수, 로그 정규 분포 등을 자연스럽게 생성함을 보여주기 위해.
• 연속적인 탄성 충돌 모델을 통해 SSF 과정의 물리적 실현을 제공하기 위해.
• 분열, 언어, 붕괴 과정 등 다양한 시스템에서 척도 불변성과 꼬리가 두꺼운 통계의 기원을 통합적으로 설명하기 위해.

제안 방법

• 경로 의존성으로 인해 시간이 지남에 따라 이용 가능한 상태 수가 감소하는 샘플 공간 감소(SSF) 과정으로 시스템을 모델링하기 위해.
• 현재 상태 또는 시간에 따라 정의된 구동 비율을 사용하여 일정, 선형, 이차, 로그, 거듭제곱 법칙 의존성을 허용하기 위해.
• 다양한 구동 비율 함수에 따라 샘플 공간의 재귀적 감소를 분석함으로써 정적 확률 분포를 유도하기 위해.
• 정확한 해석적 해를 사용하여 일정한 구동 비율이 비율에 의해 결정되는 지수를 가진 거듭제곱 법칙 분포를 유도함을 보여주기 위해.
• 연속적인 탄성 충돌의 물리적 시스템에 프레임워크를 적용하여, 이 과정이 정확히 SSF 과정으로 실현됨을 보여주기 위해.
• 구동 비율의 기능적 형태에 따라 결과 분포를 알려진 형태(예: 지수 함수, 감마, 정규, 로그 정규, 위블, 고프레츠, 차티스-파레토)로 매핑하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SSF 과정에서 일정한 구동 비율이 정확한 거듭제곱 법칙 분포를 어떻게 유도하는가?
• RQ2 상태에 의존하는 어떤 기능 형태의 구동 비율이 지수 또는 감마 분포를 유도하는가?
• RQ3 이차 구동 비율 함수가 정적 상태에서 정규 분포를 어떻게 유도하는가?
• RQ4 로그 또는 거듭제곱 법칙 상태 의존성이 로그 정규 또는 스트레칭된 지수 분포를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 비평형 시스템에서 위블, 고프레츠, 또는 차티스-파레토 분포와 같은 복잡한 분포의 기원을 설명할 수 있는가?

주요 결과

• SSF 과정에서 일정한 구동 비율은 비율에 의해 직접 결정되는 정확한 거듭제곱 법칙 정적 분포를 생성한다.
• 구동 비율의 선형 상태 의존성은 지수 또는 감마 분포 정적 상태를 유도한다.
• 구동 비율의 이차 상태 의존성은 정적 극한에서 정규 분포를 초래한다.
• 로그 상태 의존성은 로그 정규 분포를 유도하며, 거듭제곱 법칙 상태 의존성은 스트레칭된 지수 분포를 생성한다.
• 위블, 고프레츠, 차티스-파레토 분포는 SSF 과정에서 특정 형태의 상태 의존성 구동 비율로부터 자연스럽게 유도된다.
• 연속적인 탄성 충돌의 물리적 모델이 정확히 SSF 과정을 실현함을 보여주었으며, 이는 실제 시스템에서 프레임워크의 타당성을 검증한다.