[논문 리뷰] How to account for virtual arbitrage in the standard derivative pricing

Kirill Ilinski|arXiv (Cornell University)|1999. 01. 01.

Financial Markets and Investment Strategies참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 핵심 수학적 구조를 변경하지 않은 채로 가상의 아르비트 기회를 표준 블랙-숄즈 프레임워크에 통합하는 방법을 보여준다. GARCH 유형의 동적 변동성으로 기초 자산 가격 과정을 확장함으로써, 모델은 익숙한 PDE 및 마링갈 방법을 유지하면서도 현실성과 아르비트 유사 효과를 강화한다.

ABSTRACT

In this short note we show how virtual arbitrage opportunities can be modelled and included in the standard derivative pricing without changing the general framework. Whatever people say about the drawbacks of the Black-Scholes (BS) approach [1] to derivative pricing, it is a standard method and almost any pricing and hedging software in financial institutions is based on it. Practitioners have got used to BSlike partial differential equations, martingales and other related mathematical animals. Both analytical and numerical methods are well developed and it is hardly surprising that practitioners are rather reluctant to "buy" complicated new theories. That is why it is interesting to see how some limitations of BS analysis can be overcome in the same mathematical framework without disturbing the foundations. One way to improve BS is to use a more realistic price process instead of the geometrical random walk. The most popular alternatives are ARCH-GARCH models where the volatility of...

연구 동기 및 목표

• 블랙-숄즈 모델이 실제 시장 역학, 특히 변동성 클러스터링과 잠재적 아르비트 유사 효과를 반영하지 못하는 데서 비롯되는 한계를 해결하기 위해.
• 기존 파생상품 가격 정책 인fra구조(예: PDE 및 마링갈 측도)와의 호환성을 유지하면서도 모델의 현실성 향상을 위해.
• 모델 잘못 설정이나 시장 비효율성으로 인해 발생하는 가상의 아르비트—실제로는 무위험 이익을 보장하지는 않지만 아르비트 유사 기회—가 표준 BS 프레임워크 내에서 공식적으로 모델링될 수 있는지 탐구하기 위해.
• GARCH 유형의 스토케스틱 변동성을 블랙-숄즈 프레임워크에 도입함으로써 분석적 및 수치적 방법의 기존 체계를 포기하지 않은 채 더 풍부한 가격 행동을 가능하게 할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 실제 시장의 변동성 클러스터링을 더 잘 반영하기 위해 블랙-숄즈의 표준 기하 Brownian 운동을 GARCH 유형의 스토케스틱 변동성 과정으로 확장한다.
• 기존 파생상품 가격 정책 소프트웨어 및 이론과의 일관성을 유지하기 위해 위험 중립 측도와 마링갈 가격 정책 프레임워크를 유지한다.
• 시간에 따라 변하는 변동성을 통합한 수정된 편미분방정식(PDE)을 유도하여 더 현실적인 역학 하에서 파생상품의 가격을 정할 수 있도록 한다.
• 표준 BS에서 사용하는 동일한 분석적 및 수치적 기법(예: 유한차분 방법, 몬테카를로 시뮬레이션)을 사용하여 실용적인 구현 가능성을 확보한다.
• 실제 아르비트가 아닌, 변동성 동역학의 결과로 발생하는 가상의 아르비트를 모델링함으로써 실제 무위험 이익이 발생하지 않지만 시장 비효율성을 반영한다.
• 기본 BS 가정을 유지하면서도 변동성 모델링을 통해 더 풍부한 역학을 통합함으로써 이론적 전면 재구성 없이도 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 핵심 수학적 구조를 변경하지 않고도 표준 블랙-숄즈 수학적 프레임워크 내에서 가상의 아르비트 기회를 공식적으로 모델링할 수 있는가?
• RQ2 GARCH 유형의 스토케스틱 변동성을 블랙-숄즈 PDE에 통합하면서도 마링갈 가격 정책 접근 방식을 유지할 수 있는가?
• RQ3 시간에 따라 변하는 변동성을 통합함으로써 파생상품 가격 정책의 현실성이 얼마나 향상될 수 있는가? 이는 별도의 모델 전환 없이도 가능할까?
• RQ4 위험 중립 설정 하에서 가상의 아르비트를 진정한 아르비트가 아닌 변동성 동역학의 결과로 모델링할 경우의 의미는 무엇인가?

주요 결과

• GARCH 유형의 스토케스틱 변동성을 도입함으로써 가상의 아르비트는 표준 블랙-숄즈 프레임워크 내에서 모델링 가능하며, 핵심 PDE나 마링갈 구조에 변화가 필요하지 않다.
• 수정된 모델은 표준 파생상품 가격 정책에서 사용하는 동일한 분석적 및 수치적 해법 기법을 유지하므로 기존 금융 소프트웨어와의 호환성이 보장된다.
• 스토케스틱 변동성의 통합은 원래 블랙-숄즈 모델에서 부재한 변동성 클러스터링과 같은 시장 현상을 반영할 수 있게 한다.
• 이 프레임워크는 위험 중립 측도 하에서 무위험 원칙을 위반하지 않으면서도, 모델 기반 오가격 정책으로 인한 아르비트 유사 기회 존재를 가능하게 한다.
• 블랙-숄즈를 사용하는 기관들이 기존 시스템을 전면 교체하지 않고도 모델의 현실성을 향상시킬 수 있는 실용적인 업그레이드 경로를 제공한다.
• 결과적으로 유도된 PDE는 블랙-숄즈 PDE와 동일한 형태를 유지하지만, GARCH 동역학에서 유도된 시간에 따라 변하는 변동성 항을 포함함으로써 더 풍부한 파생상품 가격 정책을 가능하게 한다.