[논문 리뷰] How to Calculate the Exponential of Matrices

Kazuyuki Fujii, Hiroshi Ôike|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 17.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 9인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 임의의 복소 $n \times n$ 행렬 $A$에 대해 행렬 지수 $\mathrm{e}^A$를 명시적이고 계산적으로 효율적인 방법으로 직접 계산하는 방법을 제시한다. 문제는 $A$의 특성 다항식과 관련된 콜레기어 행렬 $L$의 지수를 계산하는 것으로 축소되며, 이는 대각화 또는 조르당 표준형을 통해 처리될 수 있다. 핵심 결과는 $A$의 고유값에 대한 닫힌 형식의 공식을 통해 $\mathrm{e}^A$를 표현함으로써, 큰 행렬에 대해서도 정확하고 안정적인 수치 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

How to calculate the exponential of matrices in an explicit manner is one of fundamental problems in almost all subjects in Science. Especially in Mathematical Physics or Quantum Optics many problems are reduced to this calculation by making use of some approximations whether they are appropriate or not. However, it is in general not easy. In this paper we give a very useful formula which is both elementary and getting on with computer.

연구 동기 및 목표

• 임의의 복소 행렬에 대해 행렬 지수 $\mathrm{e}^A$를 명시적이고 계산 가능한 방식으로 계산하는 데 오랫동안 해결되지 않은 과제를 해결하기 위해.
• 크기가 큰 $n$일 경우 고유벡터와 그 역행렬을 계산하는 데 어려움이 있어 실용적이지 않은 표준 대각화 방법의 한계를 극복하기 위해.
• 고유값이 중복되거나 거의 중복될 경우에도 안정적인 방법을 개발하기 위해.
• 고유값 기반 공식을 이용해 $\mathrm{e}^{tA}$와 더 일반적인 함수 $F(A)$의 행렬 계산을 체계적으로 수행할 수 있는 프레임워크를 제공하기 위해.
• 양자계산 및 양자광학 분야에서 행렬 지수가 널리 사용되지만 명시적으로 계산하기 어려운 데, 이를 지원하기 위해.

제안 방법

• 행렬 지수 $\mathrm{e}^A$의 계산을 $A$의 특성다항식과 관련된 콜레기어 행렬 $L$의 지수 $\mathrm{e}^L$로 축소하기 위해, 항등식 $\mathrm{e}^A = (E, A, A^2, \dots, A^{n-1}) \mathrm{e}^L \mathbf{e}_1$ 를 사용한다.
• 카이리-헤밀턴 정리를 이용해 $A^m$을 $E, A, \dots, A^{n-1}$의 선형조합으로 표현함으로써 지수 급수의 유한합으로 단절되도록 보장한다.
• 고유값이 서로 다를 경우, 다항식 계수로부터 유도된 고유벡터를 사용해 콜레기어 행렬 $L$을 대각화한다.
• 중복 고유값의 경우 조르당 표준형을 이용해 처리함으로써, 모든 경우에 대해 유효한 방법을 유지한다.
• 잔여물 또는 고유값의 대칭함수를 이용해 행렬 지수 $\mathrm{e}^A$에 대한 닫힌 형식의 공식을 유도하며, 행렬의 역행렬 계산을 피한다.
• 모든 정칙 함수 $F$에 대해 $\mathrm{e}^{tA}$와 $F(A)$를 계산하는 데 일반화하며, 통일된 고유값 기반 표현을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체 대각화에 의존하지 않고도 임의의 $n \times n$ 행렬에 대해 행렬 지수 $\mathrm{e}^A$를 명시적이고 효율적으로 계산할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 행렬 $A$가 대각화 불가능하거나 반복 고유값을 가질 경우, 수치적으로 안정적이고 대수적으로 명시적인 방법으로 $\mathrm{e}^A$를 계산할 수 있는가?
• RQ3 행렬 지수를 고유값만을 이용해 표현할 수 있는가? 이 경우 고유벡터와 그 역행렬 계산이 필요로 하지 않는다.
• RQ4 이 방법을 $\mathrm{e}^{tA}$와 더 일반적인 함수 $F(A)$의 계산으로 확장하여 통일된 방식으로 수행할 수 있는가?
• RQ5 동일한 계산 프레임워크 안에서 서로 다른 고유값과 중복 고유값을 모두 체계적으로 다룰 수 있는 방법이 있는가?

주요 결과

• 행렬 지수 $\mathrm{e}^A$는 $L$이 $A$의 콜레기어 행렬일 때 $\mathrm{e}^A = (E, A, A^2, \dots, A^{n-1}) \mathrm{e}^L \mathbf{e}_1$로 계산되며, 문제는 $\mathrm{e}^L$ 계산으로 축소된다.
• 서로 다른 고유값 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$에 대해, $\mathrm{e}^A$의 공식은 $0 \leq l \leq n-1$ 에 대해 $f_l = (-1)^{n+1} \sum_{k=1}^n \frac{(p_{n-l-1})_k \mathrm{e}^{\alpha_k}}{\prod_{j \neq k} (\alpha_j - \alpha_k)}$ 로 명시적으로 주어지며, $p_i$는 특성다항식의 계수이다.
• 조르당 표준형을 통해 중복 고유값을 매끄럽게 처리할 수 있으며, 고유값이 서로 다를 경우의 공식에서 $\beta \to \alpha$의 극한을 취하면 반복 고유값에 대한 정확한 결과가 회복된다.
• $\mathrm{e}^{tA}$의 공식은 동일한 표현에서 $\mathrm{e}^{\alpha_k}$를 $\mathrm{e}^{t\alpha_k}$로 대체함으로써 도출되며, 시간 진화 계산이 가능해진다.
• 이 방법은 모든 정칙 함수 $F(A)$로 일반화되며, $F(A) = \sum_{l=0}^{n-1} f_l A^l$ 과 함께 계수 $f_l$는 $F(\alpha_k)$와 다항식 잔여물에 대한 대칭합으로 주어진다.
• 이 방법은 고유벡터 행렬의 역행렬 $U^{-1}$ 계산이 필요로 하지 않아, 큰 $n$에 대해 표준 대각화보다 계산적으로 열등하지 않다.