[논문 리뷰] How to Convexify the Intersection of a Second Order Cone and a Nonconvex Quadratic

Sam Burer, Fatma Kılınç-Karzan|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 04.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 35인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정 second-order cone (SOCr)과 비볼록 2차형식 원뿔의 교차를 가중치 합을 통한 정의 부등식의 융합을 이용해 계산 가능한 방법으로 볼록화하는 방법을 제안한다. 쉽게 확인할 수 있는 조건 하에서, 이 방법은 정확히 볼록 hull을 포괄하는 타당한 2차원 원뿔 표현 가능한 이완을 제공하며, 혼합정수형식 원뿔 프로그래밍을 위한 이전의 분할 컷 결과들을 통합하고 확장한다.

ABSTRACT

A recent series of papers has examined the extension of disjunctive-programming techniques to mixed-integer second-order-cone programming. For example, it has been shown---by several authors using different techniques---that the convex hull of the intersection of an ellipsoid, $E$, and a split disjunction, $(l - x_j)(x_j - u) \le 0$ with $l < u$, equals the intersection of $E$ with an additional second-order-cone representable (SOCr) set. In this paper, we study more general intersections of the form $K \cap Q$ and $K \cap Q \cap H$, where $K$ is a SOCr cone, $Q$ is a nonconvex cone defined by a single homogeneous quadratic, and $H$ is an affine hyperplane. Under several easy-to-verify conditions, we derive simple, computable convex relaxations $K \cap S$ and $K \cap S \cap H$, where $S$ is a SOCr cone. Under further conditions, we prove that these two sets capture precisely the corresponding conic/convex hulls. Our approach unifies and extends previous results, and we illustrate its applicability and generality with many examples.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 차수 원뿔 표현 가능한 (SOCr) 집합과 비볼록 2차형식 원뿔의 교차를 위한 일반적이고 계산 가능한 기법을 개발하는 것.
• 두 번째 차수 원뿔과 비볼록 2차형식 제약 조건을 포함하는 혼합정수형식 원뿔 프로그래밍을 위한 이전의 분할 컷 결과들을 통합하고 확장하는 것.
• 결과로 얻어진 볼록 이완이 정확한, 즉 교차의 볼록 hull과 일치하는 조건을 규명하는 것.
• 원뿔 쌍대성과 고유값 분석을 활용하여 일반적인 비볼록 2차형식 프로그래밍 및 혼합정수형식 원뿔 최적화에 적용 가능한 프레임워크를 제공하는 것.
• 신뢰 영역 하위문제와 타원체 분할 교차를 포함한 다양한 예시들을 통해 방법의 일반성과 적용 가능성을 입증하는 것.

제안 방법

• SOCr 원뿔과 비볼록 2차형식 원뿔의 정의 부등식에 비율 가중치를 적용하여 융합하는 방법을 사용하며, 이로 인해 유도된 집합의 볼록성을 보장하기 위해 비음수 가중치를 선택한다.
• 두 원뿔을 정의하는 행렬 A와 B를 사용하여 At(t) = (1-t)A + tB의 매개변수 가중치 가중 행렬의 가족을 도입하고, At가 특이해지는 최소 t 값을 분석한다.
• 핵심 단계는 융합된 행렬 At의 영공간을 분석하여 타당한 2차원 원뿔 표현 가능한 이완이 존재하는지를 확인하는 것이다.
• 이 방법은 고유값의 격리성과 2차형식 원뿔의 헤시안 및 선형 항의 구조를 활용하여 이완이 계산 가능하고 타당한 것을 보장한다.
• 원뿔 쌍대성과 양의 준정부정성의 성질을 활용하여, 볼록 hull이 단일 SOCr 제약 조건으로 정확히 기술될 수 있는 충분한 조건을 유도한다.
• 선형 제약 조건을 포함하기 위해 융합 프레임워크를 확장하여, 평행 평면과의 교차에 대해서도 SOCr 표현 가능성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 차수 원뿔 표현 가능한 집합과 비볼록 2차형식 원뿔의 교차가 단일 2차원 원뿔 표현 가능한 이완을 통해 정확히 볼록화될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 통합된 융합 기법을 사용하여 이러한 교차에 대해 계산 가능하고 타당한 볼록 이완을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 원뿔의 정의 행렬에 대한 구조적 및 스펙트럼 조건은 무엇이어야 하며, 이 조건들이 결과로 얻어진 이완이 볼록 hull을 정확히 포괄하도록 보장하는가?
• RQ4 이 방법은 두 번째 차수 원뿔과 비볼록 2차형식 원뿔이 평행 평면과의 교차를 포함하는 경우에도 확장 가능할 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 타원체와 분할 분할 컷에 대한 이전 결과들을 어떻게 통합하거나 일반화하는가?

주요 결과

• 쉽게 확인할 수 있는 조건 하에서, SOCr 원뿔과 비볼록 2차형식 원뿔의 교차는 단일 2차원 원뿔 표현 가능한 집합을 통해 정확히 볼록화될 수 있다.
• 이 방법은 계산 가능하고 타당한 볼록 이완을 생성하며, 이 이완의 타당성은 매개변수 행렬 At의 특이성에 의해 결정된다.
• 중요한 매개변수 t = r = 1/(1−λ)는 융합된 행렬 At가 특이해지는 임계점이며, 이 값이 이완이 타당해지는 정확한 지점임이 입증되었다.
• 융합된 행렬 At의 영공간에 2차형식의 기울기와 수직인 벡터가 포함되어 있을 경우, 이완은 볼록 hull을 정확히 포괄하며, 고유값 및 영공간 분석을 통해 이를 검증한다.
• 이 방법은 이전의 타원체 분할 교차 및 신뢰 영역 하위문제 결과를 일반화하고 통합하며, 약한 가정 하에서 볼록 hull이 단일 SOCr 제약 조건으로 기술됨을 보여준다.
• 이 방법은 타원형 제약 조건을 포함하는 일반적인 비볼록 2차형식 프로그래밍에 적용 가능하며, 타당한 SOCr 부등식을 타당 영역의 볼록 hull에 대해 생성할 수 있다.