[논문 리뷰] How to drive our families mad

Sakaé Fuchino, Stefan Geschke외 2명|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 24.

Diet and metabolism studies참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 가 countable 집합 위의 주어진 almost disjoint 가족 $\mathcal{F}$ 를 포함하는 maximal almost disjoint (mad) 가족의 최소 크기로 정의된 카디널 불변량 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ 를 조사한다. 모든 무한 카디널 $\leq \mathfrak{c}$ 가 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ 로 나타날 수 있음을 보이며, forcing 와 집합론적 조합론적 구성 기법을 사용하여 $\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{a}^+(\aleph_1) = \mathfrak{c}$ 와 $\mathfrak{a}^+(\aleph_1) < \mathfrak{c}$ 의 일致성을 증명한다.

ABSTRACT

Given a family $F$ of pairwise almost disjoint sets on a countable set $S$, we study maximal almost disjoint (mad) families $F^+$ extending $F$. We define $a^+(F)$ to be the minimal possible cardinality of $F^+\setminus F$ for such $F^+$, and $a^+(κ)=\sup\{a^+(F): |F| \leq κ\}$. We show that all infinite cardinal less than or equal to the continuum continuum can be represented as $a^+(F)$ for some almost disjoint $F$ and that the inequalities $\aleph_1=a

연구 동기 및 목표

• 주어진 countable 집합 위의 almost disjoint 가족 $\mathcal{F}$ 를 포함하는 maximal almost disjoint (mad) 가족의 최소 크기를 분석하는 것.
• 카디널 불변량 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F}) = \mathfrak{a}(\mathcal{F}^\perp)$ 를 정의하고 연구하며, 이러한 확장의 최소 크기를 측정하는 것.
• $|\mathcal{F}| \leq \kappa$ 인 다양한 가족 $\mathcal{F}$ 에 대해 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ 의 가능한 값들을 결정하는 것.
• $\mathfrak{a}^+(\kappa)$ 와 관련된 다양한 부등식의 일치성을 조사하는 것, 특히 $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{c}$ 와의 관계에서.
• $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ 와 같은 집합론적 가정 하에서, 파괴되지 않는 성질과 $\lambda$-최소성 등의 추가 성질을 가진 mad 가족을 구성하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{F}^\perp$ 에서의 mad 가족의 최소 크기로 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ 를 정의한다. $\mathcal{F}^\perp$ 는 $\mathcal{F}$ 의 모든 원소와 거의 disjoint인 집합들의 가족이다.
• 특히 Cohen forcing 와 ${{\mathcal{C}}}_\omega$-이름을 사용한 forcing 구성 기법을 통해 특정한 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ 값이 실현되는 모델을 구축한다.
• 전순서 귀납법을 통해 $\kappa$-almost decided mad 가족을 구성하며, forcing poset 의 조건들이 기존 원소들과의 almost disjointness 를 결정하도록 보장한다.
• $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ 를 사용하여, 특정 forcing 확장 후에도 여전히 mad 이며 ${{\mathcal{C}}}_\omega$-indestructible 인 mad 가족의 존재를 보장한다.
• $\sigma$-centered forcing 를 사용하여 카디널을 유지하고, 결과적으로 얻어진 mad 가족이 $\lambda$-minimality 와 같은 강력한 조합론적 성질을 만족하도록 보장한다.
• Kunen 등의 기존 결과와 $\mathbb{P}$-이름 및 일반적 확장의 철저한 분석을 활용하여 구성된 가족의 성질을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 무한 카디널 $\leq \mathfrak{c}$ 가 countable 집합 위의 almost disjoint 가족 $\mathcal{F}$ 에 대해 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ 로 실현될 수 있는가?
• RQ2 $\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{a}^+(\aleph_1) = \mathfrak{c}$ 가 일치하는가?
• RQ3 $\mathfrak{a}^+(\aleph_1) < \mathfrak{c}$ 이면서 $\mathfrak{a} = \aleph_1$ 인 경우가 일치하는가?
• RQ4 $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ 하에서, 모든 $\omega \leq \lambda \leq \mathfrak{c}$ 에 대해 $\lambda$-최소성인 mad 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ 하에서, ${{\mathcal{C}}}_\omega$-indestructible 이며, 일반적 확장에서 여전히 $\kappa$-almost decided 이도록 구성된 mad 가족을 만들 수 있는가?

주요 결과

• 모든 무한 카디널 $\kappa \leq \mathfrak{c}$ 는 countable 집합 위의 어떤 almost disjoint 가족 $\mathcal{F}$ 에 대해 $\mathfrak{a}^+(\mathcal{F})$ 로 실현 가능하다.
• $\mathfrak{a} = \aleph_1 < \mathfrak{a}^+(\aleph_1) = \mathfrak{c}$ 가 일치함을 보이며, 이는 Corollary 4.3 에서 확인된다.
• $\mathfrak{a}^+(\aleph_1) < \mathfrak{c}$ 가 일치함을 보이며, 이는 $\mathfrak{a} = \aleph_1$ 인 경우에도 성립함을 Theorem 4.4 에서 증명하였다.
• $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ 하에서, 크기가 $\kappa = \mathfrak{c}$ 인 ${{\mathcal{C}}}_\omega$-indestructible 인 mad 가족 $\mathcal{F}$ 가 존재하며, $V^{{\mathcal{C}}}_\omega \models \mathcal{F} \text{ is } \kappa\text{-almost decided on } T$ 를 만족한다.
• 기본 모델에서 $\kappa \geq \mathfrak{c}$ 인 모든 $\kappa$ 에 대해, $\kappa < \mathfrak{c}$ 가 되는 카디널을 유지하는 일반적 확장이 존재하며, 그 확장에서 크기가 $\kappa$ 인 $\kappa$-almost decided 인 mad 가족이 존재한다.
• $\sf{MA}(\sigma\text{-centered})$ 하에서, 모든 $\omega \leq \lambda \leq \mathfrak{c}$ 에 대해 $\lambda$-최소성인 mad 가족 $\mathcal{F}$ 가 존재한다. 이는 Corollary 6.3 에서 보여진다.