[논문 리뷰] How to reconcile Information theory and Gibbs-Herz entropy for inverted populated systems

Alessio Gagliardi, Alessandro Pecchia|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 10.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 밀도 상태가 유한한 시스템에서 정보 이론과 깁스-헤르츠 엔트로피를 조율함으로써, 올바른 확률 분포—특히 에너지 ≤ E인 모든 상태에 대한 깁스-헤르츠 균일 분포—와 짝을 이루었을 때 샤논 엔트로피 기능이 여전히 유효하다는 것을 보여준다. 핵심 결과는 평형 상태에서 열역학적 온도가 항상 양수이며, 음수 온도 열원을 포함하는 카르노 사이클에서의 명백한 효율이 1을 초과하는 것은 외부 구동력에 의한 계산에 빠진 에너지 유량 때문이라는 것이다.

ABSTRACT

In this paper we discuss about the validity of the Shannon entropy functional in connection with the correct Gibbs-Hertz probability distribution function. We show that there is no contradiction in using the Shannon-Gibbs functional and restate the validity of information theory applied to equilibrium statistical mechanics. We show that under these assumptions, entropy is always a monotone function of energy, irrespective to the shape of the density of states, leading always to positive temperatures even in the case of inverted population systems. In the second part we assume the validity of the Shannon entropy and thermodynamic temperature, T=dE/dS, extended to systems under non-equilibrium steady state. Contrary to equilibrium, we discuss the possibility and meaning of a negative temperature in this case. Finally we discuss on Carnot cycles operating with a non-equilibrium bath possessing a negative temperature and leading to apparent efficiencies larger than one, due to a wrong accounting af all the energy and entropy fluxes present in the system, including the external driving forces.

연구 동기 및 목표

• 밀도 상태가 유한한 시스템에서 음수 온도가 존재할 수 있는지에 대한 논란을 해결하기 위해.
• 마이크로canonical 집단에 대한 정확한 엔트로피 기능을 명확히 하여, 볼츠만 엔트로피 대신 복합 밀도 연산자에서 유도된 깁스-헤르츠 엔트로피를 사용해야 한다고 주장하기 위해.
• 적절한 확률 분포와 짝을 이룰 경우 샤논 엔트로피 기능이 열역학적 시스템에 여전히 유효하다는 것을 보여주어 새로운 정보 측정법이 필요 없도록 하기 위해.
• 비평형 정 steady 상태(NES)에서 음수 온도의 물리적 의미를 조사하고, 카르노 사이클 효율에 대한 영향을 분석하기 위해.
• 음수 온도 열원을 포함하는 사이클에서 명백한 효율이 1을 초과하는 것은 에너지 및 엔트로피 계산이 완전하지 않기 때문에 발생하는 결과이지, 물리적 위반은 아니라는 것을 보여주기 위해.

제안 방법

• 해밀토니안 시스템을 사용하여 외부 영향으로부터 고립된 마이크로canonical 집단을 정의함으로써 올바른 평형 상태를 설정하기 위해.
• 두 가지 확률 밀도 함수를 비교함: 볼츠만 엔트로피를 위한 마이크로canonical 밀도 연산자(MDO)와 깁스-헤르츠 엔트로피를 위한 복합 밀도 연산자(CDO).
• 두 분포 모두에 샤논 엔트로피 기능 $ S = -k_B ext{Tr}[ ho ho] $ 를 적용하여 각각 $ S_B = ext{ln}| ho_B| $ 와 $ S_{GH} = ext{ln}| ho_{GH}| $ 를 유도함.
• 온도의 도함수 $ T = dE/dS $ 를 분석하여, 오직 깁스-헤르츠 엔트로피만이 역전된 밀도 상태를 가진 시스템을 포함한 모든 시스템에서 단조롭고 양수인 온도를 도출한다는 것을 보여줌.
• 외부 구동력에 의해 역전된 밀도 상태를 유지하는 비평형 정 steady 상태(NES)로 분석을 확장함.
• 비평형 상태에서 음수 온도를 보이는 열원을 포함한 카르노 사이클 성능을 평가하여, 효율이 1을 초과하는 것은 열원을 유지하기 위해 필요한 일의 입력을 忽略한 결과임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 확률 분포를 사용할 경우 샤논 엔트로피 기능은 평형 통계역학에 일관되게 적용될 수 있는가?
• RQ2 왜 볼츠만 엔트로피는 밀도 상태가 유한한 시스템에서 물리적으로 의미 없는 음수 온도를 초래하는가? 그리고 깁스-헤르츠 엔트로피는 이를 어떻게 해결하는가?
• RQ3 비평형 정 steady 상태에서의 음수 온도는 물리적으로 의미 있는가, 아니면 열역학적 정의의 산물인가?
• RQ4 일반 열원과 비평형 역전 상태에 있는 열원 사이에서 작동하는 카르노 기계가 효율 1을 초과할 수 있는가?
• RQ5 음수 온도 열원을 포함하는 사이클에서 외부 구동력은 에너지 및 엔트로피 계산에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 복합 밀도 연산자에서 유도된 깁스-헤르츠 엔트로피는 고립된 시스템이 마이크로canonical 평형 상태에 있을 때 올바른 열역학적 엔트로피이며, 항상 양수인 온도를 보장한다.
• 볼츠만 엔트로피는 에너지가 $ E = ar{E} $ 로 고정된 조건부 평균에 대해서만 유효하지만, 이상한 밀도 상태를 가진 시스템에서는 일반적인 엔트로피 기능으로서 실패한다.
• 적절한 확률 분포와 함께 사용될 경우 샤논 엔트로피는 열역학적 시스템에 여전히 유효하므로 새로운 정보 측정법이 필요 없어진다.
• 비평형 정 steady 상태에서는 $ T = dE/dS $ 를 통해 음수 온도를 정의할 수 있지만, 이는 시스템의 에너지 함량이나 등분배 행동을 반영하지는 않는다.
• 음수 온도 열원을 포함하는 사이클에서 명백한 효율이 1을 초과하는 것은 열원을 비평형 상태로 유지하기 위해 필요한 일의 입력을 忽略했기 때문에 발생하는 결과이며, 물리적 위반은 아니다.
• 외부 드라이버에서 오는 모든 에너지 및 엔트로피 유량까지 정확히 고려할 경우, 이러한 사이클의 총 효율은 반드시 1 이하여야 하며, 이는 영구 운동이나 어둠컴포지션 에너지의 가능성을 배제한다.