[논문 리뷰] How to (Un-) Quantum Mechanics

C. Baumgarten|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 12.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 39인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자역학이 고전적 해밀턴 역학에서 시간 이동 불변성만 유지하고 시공간 철학적 해석을 기각함으로써 양자 원리들을 추가로 가정하지 않고 유도될 수 있다고 주장한다. 시공간 기반의 기하학적 해석을 기각하고 시간 이동 불변성만 유지할 경우, 심플렉틱 기하학과 클리퍼드 대수를 사용한 순수하게 고전적인 위상공간 기반의 기술에서 디랙 방정식과 상대론적 양자역학이 자연스럽게 유도됨을 보여주며, 고전역학과 양자역학의 수학적 차이가 실존하지 않는다는 것을 입증한다.

ABSTRACT

When compared to quantum mechanics, classical mechanics is often depicted in a specific metaphysical flavour: spatio-temporal realism or a Newtonian "background" is presented as an intrinsic fundamental classical presumption. However, the Hamiltonian formulation of classical analytical mechanics is based on abstract generalized coordinates and momenta: It is a mathematical rather than a philosophical framework. If the metaphysical assumptions ascribed to classical mechanics are dropped, then there exists a presentation in which little of the purported difference between quantum and classical mechanics remains. This presentation allows to derive the mathematics of relativistic quantum mechanics on the basis of a purely classical Hamiltonian phase space picture. It is shown that a spatio-temporal description is not a condition for but a consequence of objectivity. It requires no postulates. This is achieved by evading spatial notions and assuming nothing but time translation invariance.

연구 동기 및 목표

• 양자역학이 그 수학적 구조에서 고전역학과 본질적으로 다름없다는 표준적 견해에 도전하기 위해.
• 디랙 방정식을 포함한 상대론적 양자역학의 수학이 추가 공리 없이 고전적 해밀턴 역학에서 도출될 수 있음을 보여주기 위해.
• 시공간 실재론이 기초적인 요구 조건이 아니라 시간 이동 불변성과 심플렉틱 역학의 결과임을 보여주기 위해.
• 양자역학의 '이상한 성질'이 본질적인 수학적 차이에서 비롯되는 것이 아니라 잘못된 해석 방식에서 비롯된 것임을 주장하기 위해.

제안 방법

• 시공간 철학적 해석을 제거하고 일반화된 좌표와 운동량을 사용해 고전역학을 해밀턴 위상공간에서 기술한다.
• 공간이나 물체에 대한 가정 없이 시간 이동 불변성을 유일한 물리적 가정으로 적용한다.
• 심플렉틱 역학과 라크 쌍을 사용해 스핀어와 그 진화를 기술하며, 디랙형 방정식과의 일관성을 보여준다.
• 기본 스핀어(크기 4)의 크로네커 곱을 사용해 고차 스핀어와 그에 상응하는 해밀토니안을 구성한다.
• 실수 클리퍼드 대수( Cl(N−1,1) )와 특정 행렬 구조를 사용해 스핀어 장에 대한 타일러 급수 전개를 통해 고차 해밀토니안을 표현한다.
• 심플렉틱 운동을 통해 스핀어의 위상공간 기반 고전적 기술에서 디랙 방정식과 상대론적 양자역학을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대론적 양자역학의 수학적 구조가 양자 원리들을 추가로 가정하지 않고 고전적 해밀턴 역학에서 도출될 수 있는가?
• RQ2 고전역학과 양자역학의 차이가 본질적으로 수학적인가, 아니면 해석적 철학적 해석의 결과인가?
• RQ3 시공간 기반의 현실 기술은 시간 이동 불변성에서 유도되는가, 아니면 기초적인 가정인가?
• RQ4 심플렉틱 역학과 클리퍼드 대수를 사용한 순수한 고전적 위상공간 기반 기술에서 디랙 방정식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 크로네커 곱을 통한 스핀어의 조합이 고전 시스템에서 고차 양자역학적 역학을 어떻게 생성하는가?

주요 결과

• 디랙 방정식과 상대론적 양자역학은 시간 이동 불변성과 심플렉틱 역학만을 사용한 고전적 해밀턴 위상공간 기반 기술에서 도출될 수 있다.
• 기본 디랙 스핀어(크기 4)의 홀수 개로 구성된 스핀어는 심플렉틱 운동을 보이며, 짝수 개로 구성된 스핀어는 선형화된 해밀토니안이 0인 상수 운동을 보인다.
• 고차 해밀토니안은 스핀어 장에 대한 타일러 급수 전개로 표현되며, γ₀Γ 행렬의 대칭성에 의해 비영인 항의 수가 제한되며, 차수 2k에 대해 최대 [n(2n+1)]^k개의 독립항이 존재한다.
• k번째 차수의 모멘트에 대한 해밀토니안의 행렬 크기는 k=2m+1일 때 2^{8m+4}이며, 이는 실수 클리퍼드 대수 Cl(N−1,1)와 대응하며, N=8m+4이다.
• 짝수 크로네커 곱(k=2m)으로 구성된 실수 디랙 스핀어의 크기는 2^{4m}이지만, N=8m에 대해 해당하는 실수 클리퍼드 대수가 존재하지 않아 고차 상관관계에서 구조적 불일치가 발생한다.
• 논문은 양자역학의 '양자적 성격'이 수학적 특성에 기인하는 것이 아니라 해석적 성격이며, 철학적 가정을 제거할 경우 고전역학으로부터 자연스럽게 양자역학이 유도된다고 결론 내린다.