[논문 리뷰] How to Wick rotate generic curved spacetime

Matt Visser|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 18.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 14인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 만곡 시공간에서 윌크 회전을 좌표 변환 $ t \to -it $로 보는 것 대신, 시공간 계량의 복소 변형으로 재정의한다. 이는 난잡한 접근 방식에서 발생하는 모순을 해결한다. 표준 $ t \to -it $ 규정이 일반적으로 실수 유럽계량을 생성하지 못함을 보여주며, 특히 비정적 시공간에서 그러하다. 메트릭 기반 윌크 회전은 인과성과 위상수학을 유지하며, 실수적이고 물리적으로 일관된 유클리드 양자 중력 이론을 가능하게 한다.

ABSTRACT

It is an article of folklore that the collection of ideas identified as Euclidean quantum gravity may be derived from ordinary Lorentzian signature gravity by the procedure of Wick rotation. This note will attempt to shed some light on this relatively ill-understood procedure. I argue that it proves inappropriate and unhelpful to regard Wick rotation in terms of a complex deformation of the time coordinate. Rather, Wick rotation can more usefully be viewed as a complex deformation of the spacetime metric. This simple reformulation of the Wick rotation procedure, while it leaves flat space physics unaffected, has profound implications for quantum gravity.

연구 동기 및 목표

• 만곡 시공간에 난잡한 $ t \to -it $ 규정을 적용할 경우 일반적으로 복소수 또는 비유클리드 계량을 유도하므로 발생하는 근본적 불일치를 해결하기 위해.
• 윌크 회전이 좌표 변환보다는 시공간 계량의 복소 변형으로 간주되어야 하며, 이를 통해 다양체의 미분 구조가 유지되도록 하기 위해.
• 실수적이고 양의 정부호인 유클리드 계량을 확보하고 오스터발더-슈라더 긍정성과 호환되도록 하여 유클리드 양자 중력의 물리적 일관성을 회복하기 위해.
• 데시터 공간과 같이 비정적 시공간에서, 해석적 계속의 좌표 의존성이 모순적인 결과를 낳는 바, 난잡한 좌표 기반 접근 방식이 실패하는 이유를 명확히 하기 위해.
• 유클리드 구성 공간을 라이만 서명을 가진 계량으로부터 윌크 회전 가능한 것들로 제한함으로써 양자 중력에서 물리적으로 의미 있는 경로 적분을 확립하기 위해.

제안 방법

• 좌표를 고정한 채로 시공간 계량 텐서 $ g_{\mu\nu} \to g_{\mu\nu}^{\text{E}} $의 복소解析적 계속을 통해 윌크 회전을 재정의한다.
• 다양한 절단 좌표( $ k=0 $, $ k=+1 $, $ k=-1 $)를 사용한 데시터 공간에 메트릭 기반 접근법을 적용하여, $ k=+1 $ 절단에서만 해석적 계속 후 명백한 유클리드 계량을 얻음을 보여준다.
• 표준 $ t \to -it $ 규정이 일반적으로 실패하는 이유를 보이며, 단순한 경우인 데시터 공간에서도 복소수 또는 라이만 서명 계량을 생성할 수 있음을 입증한다.
• 유클리드 계량의 허용 범위를 제약하는 물리적 기준으로 오스터발더-슈라더 긍정성 조건을 사용한다.
• 유클리드 양자 중력의 경로 적분은 라이만 서명을 가진 계량으로부터 윌크 회전 가능한 것들로 제한되어야 하며, 라이만 대응이 없는 임의의 다양체를 포함하면 물리 원리와 옥컴의 면도가 어긋난다.
• 좌표 의존성 변환을 피하고, 좌표에 독립적인 방식으로 직접 계량 텐서를 변형함으로써 다양체의 미분 구조를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 일반적인 만곡 시공간에서 표준 $ t \to -it $ 규정이 실수 유클리드 계량을 생성하지 못하는가?
• RQ2 데시터 공간과 같이 비정적 시공간에서, 해석적 계속의 좌표 의존성이 모순적인 결과를 낳는 바, 윌크 회전을 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ3 만곡 시공간에서 윌크 회전의 올바른 기하학적 해석은 무엇인가—좌표 변환인가, 계량 변형인가?
• RQ4 유클리드 양자 중력의 경로 적분은 어떤 방식으로 물리적으로 의미 있는 구성으로 제한될 수 있는가? 이는 라이만 서명을 가진 대응 계량을 가져야 한다.
• RQ5 오스터발더-슈라더 긍정성 조건은 양자 중력에서 허용되는 유클리드 계량의 범주를 제약하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 난잡한 $ t \to -it $ 규정은 일반적인 만곡 시공간, 특히 $ k=0 $인 공동 좌표에서의 데시터 공간에서 해석적 계속 후 명백한 복소수 계량을 유도한다.
• 반면 $ k=+1 $ 절단에서의 데시터 공간는 해석적 계속 후 실수적이고 양의 정부호인 유클리드 계량을 얻으며, 반경 $ H^{-1} $의 4차원 구면에 해당하여, 난잡한 접근의 좌표 의존성을 보여준다.
• $ k=-1 $ 절단의 경우 해석적 계속로 서명 (3,1)의 계량이 유도되며, 유클리드 서명 계량이 되지 않아, 난잡한 방법이 단순한 경우에도 유클리드 서명 계량을 생성하지 못할 수 있음을 보여준다.
• 논문은 윌크 회전이 좌표 변환보다는 계량 텐서의 복소 변형으로 간주되어야 하며, 이를 통해 다양체의 미분 구조를 유지하고 좌표 의존성을 피할 수 있음을 확립한다.
• 계량 변형으로 윌크 회전을 재해석함으로써 인과성과 오스터발더-슈라더 긍정성과의 호환성이 보장되어, 유클리드 양자 중력의 물리적으로 일관된 기초를 제공한다.
• 유클리드 양자 중력의 경로 적분은 반드시 윌크 회전 가능한 라이만 계량에서 유래한 계량으로 제한되어야 하며, 라이만 대응이 없는 임의의 유클리드 다양체를 포함하면 물리 원리와 옥컴의 면도가 어긋난다.