[논문 리뷰] How viable is quantum annealing for solving linear algebra problems?

Ajinkya Borle, Samuel J. Lomonaco|arXiv (Cornell University)|2022. 06. 21.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 선형 대수 문제, 특히 선형 최소 제곱법(LLS)과 선형 연립방정식(LSE)을 해결하는 데에 양자 앤날링의 가능성을 조사한다. 애디아바틱 양자 계산 시뮬레이션을 통해, 행렬의 행 수가 열 수에 비해 훨씬 많은 경우나 조건 수가 나쁜 시스템에서는 양자 앤날링이 잘 작동하지만, 변수 정밀도가 증가함에 따라 지수적 속도 저하를 겪는다. 저자들은 양자 앤날링을 사용해 초기 추정값을 생성한 후 고전적 고정점 반복법을 적용하는 하이브리드 양자-고전적 해법을 제안하며, LLS 문제에서 약 8–9%의 개선 효과를 보이며 특히 후처리를 통한 개선이 두드러진다. 이는 LLS 문제에 대해 잠재적인 응용 가능성을 시사한다.

ABSTRACT

With the increasing popularity of quantum computing and in particular quantum annealing, there has been growing research to evaluate the meta-heuristic for various problems in linear algebra: from linear least squares to matrix and tensor factorization. At the core of this effort is to evaluate quantum annealing for solving linear least squares and linear systems of equations. In this work, we focus on the viability of using quantum annealing for solving these problems. We use simulations based on the adiabatic principle to provide new insights for previously observed phenomena with the D-wave machines, such as quantum annealing being robust against ill-conditioned systems of equations and scaling quite well against the number of rows in a system. We then propose a hybrid approach which uses a quantum annealer to provide a initial guess of the solution $x_0$, which would then be iteratively improved with classical fixed point iteration methods.

연구 동기 및 목표

• 양자 앤날링이 선형 최소 제곱법(LLS)과 선형 연립방정식(LSE) 문제를 해결하는 데에 실용적인가를 평가하는 것.
• 조건 수, 변수 수, 방정식 수, 변수 정밀도와 같은 핵심 매개변수들이 양자 앤날링의 성능에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 특정 하드웨어에 종속되지 않는 기본적인 거동을 이해하기 위해 애디아바틱 양자 진동을 시뮬레이션함으로써, D-Wave의 경험적 관찰을 넘어서는 결론을 뒷받침하는 것.
• 양자 앤날링을 사용해 초기 해 추정값을 생성하고, 이를 고전적 고정점 반복법으로 정밀화하는 하이브리드 양자-고전적 접근법을 제안하고 평가하는 것.
• 고전적 영제 초기화 대비 양자 보조 초기 추정값의 수렴 속도와 해의 정확도 측면에서의 효과성을 비교하는 것.

제안 방법

• 양자 앤날링의 진동을 모델링하기 위해 애디아바틱 원리를 사용해 애디아바틱 양자 계산(AQC)을 시뮬레이션함으로써, 하드웨어 특성에 기인한 편향을 피하는 것.
• LLS와 LSE 문제를 QUBO 형식으로 매핑하기 위해 삼차 복잡도 변환 기법을 사용함: LLS의 경우 O(mn²), LSE의 경우 O(n³)이며, 이는 D-Wave의 양자 앤날링 아키텍처에 적합한 인코딩을 가능하게 한다.
• 이징 모델과 QUBO 등가성을 활용해 연속적인 선형 대수 문제를 양자 앤날러가 처리할 수 있는 이산 이진 최적화 문제로 변환하는 것.
• 양자 앤날러가 초기 해 추정값 $x_0^{(q)}$를 제공하고, 이를 고전적 고정점 반복법(예: LSMR)을 통해 정밀화하는 하이브리드 양자-고전적 해법을 구현하는 것.
• 양자 출력의 품질을 향상시키기 위해 고전적 해법에 입력하기 전에 탐욕적 내림(descend) 후처리를 적용하는 것.
• D-Wave 2000Q와 Advantage 4.1을 포함한 다양한 문제 크기와 하드웨어 플랫폼에서, 양자 보조 초기 추정값과 고전적 영제 초기화 간의 성능 지표(반복 횟수, 절대 오차)를 비교하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 최소 제곱법 문제에서 변수 수, 방정식 수, 조건 수가 증가함에 따라 양자 앤날링의 실행 시간은 어떻게 변화하는가?
• RQ2 변수 정밀도(비트 폭)가 증가할 경우 선형 대수 문제를 해결하는 데에 양자 앤날링의 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 양자 앤날링이 LLS 및 LSE 문제의 고전적 반복 해법에 대해 실용적인 초기 추정값을 제공할 수 있는가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서 성능 향상이 뚜렷한가?
• RQ4 수렴 속도와 해의 정확도 측면에서, LLS 문제와 LSE 문제 간에 하이브리드 양자-고전적 해법의 성능는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 큐비트 연결성과 임bedding 효율성의 차이로 인해, 하드웨어 선택(D-Wave 2000Q 대비 Advantage 4.1)이 양자 보조 초기 추정값의 효과성에 중대한 영향을 미치는가?

주요 결과

• 양자 앤날링은 행 수가 열 수에 비해 훨씬 많은 경우나 조건 수가 나쁜 선형 시스템에서 뛰어난 성능를 보이며, 방정식 수 증가에 따라 잘 스케일링된다.
• 해 변수의 정밀도(비트 폭)가 증가함에 따라 양자 앤날링의 실행 시간이 지수적으로 감소함을 보이며, 이는 본질적인 스케일링 제약을 시사한다.
• 5μs 앤날링 시간을 사용할 경우, LLS 문제에서 양자-고전 하이브리드 접근법이 반복 횟수 약 8–9% 향상되는 효과를 보이며, 문제 크기가 커질수록 이 개선 효과는 감소한다.
• LSE 문제에서는 양자 보조 초기 추정값이 반복 횟수 약 8%의 중앙값 향상을 보였지만, 성능 향상은 일관성이 없고 문제 크기와 앤날링 시간에 민감하게 반응했다.
• 탐욕적 내림 후처리를 통해 해의 품질이 크게 향상되었으며, 특히 LLS 문제에서 일부 경우에서 추가 고전적 정밀화 없이도 정확한 해를 달성하였다.
• D-Wave 2000Q에 비해 Advantage 4.1(APU) 프로세서가 더 우수한 큐비트 연결성 덕분에 동일한 문제 크기에서 더 뛰어난 성능를 보였으며, 이는 더 효율적인 마이너 임bedding과 문제 크기의 감소를 초래하였다.