[논문 리뷰] Hybrid scheme for Brownian semistationary processes

Mikkel Bennedsen, Asger Lunde외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2015. 07. 10.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 영역 근처에서 거듭제곱 법칙 행동을 보이는 커널을 가진 브라운 운동 준정적(process)을 시뮬레이션하기 위한 하이브리드 이산화 기법을 제안한다. 영역 근처에서는 거듭제곱 함수 근사와 그 외 영역에서는 단계 함수 근사 방식을 조합함으로써, 동일한 계산 복잡도를 유지하면서도 표준 리만 합 방법보다 훨씬 뛰어난 평균 제곱 오차 성능을 달성한다.

ABSTRACT

We introduce a simulation scheme for Brownian semistationary processes, which is based on discretizing the stochastic integral representation of the process in the time domain. We assume that the kernel function of the process is regularly varying at zero. The novel feature of the scheme is to approximate the kernel function by a power function near zero and by a step function elsewhere. The resulting approximation of the process is a combination of Wiener integrals of the power function and a Riemann sum, which is why we call this method a hybrid scheme. Our main theoretical result describes the asymptotics of the mean square error of the hybrid scheme and we observe that the scheme leads to a substantial improvement of accuracy compared to the ordinary forward Riemann-sum scheme, while having the same computational complexity. We exemplify the use of the hybrid scheme by two numerical experiments, where we examine the finite-sample properties of an estimator of the roughness parameter of a Brownian semistationary process and study Monte Carlo option pricing in the rough Bergomi model of Bayer et al. [Quant. Finance 16(6), 887-904, 2016], respectively.

연구 동기 및 목표

• 영역 근처에서 특이 커널을 가지는 BSS 과정에 대한 표준 리만 합 이산화의 열악한 수렴성을 해결한다.
• 영역 근처에서 규칙적으로 변화하는 커널의 급격한 기울기를 더 정확하게 포착하는 시뮬레이션 기법을 개발한다.
• BSS 과정의 이산화에서 평균 제곱 오차(MSE)를 향상시키면서도 계산 효율성을 유지한다.
• 거친 변동성 모델(예: 거친 버그미 모델)에서 정확한 유한 표본 추론과 몬테카를로 가격 설정을 가능하게 한다.

제안 방법

• BSS 과정의 확률적 적분 표현에서 커널 함수 $ g $ 를 영역 근처에서는 거듭제곱 함수로, 더 큰 지연에서는 단계 함수로 근사한다.
• 백트래킹 이론을 기반으로, 브라운 운동에 대한 위너 적분과 리만 합의 선형 조합으로 하이브리드 기법을 구성한다.
• 정규적으로 변화하는 이론을 활용하여 $ \alpha \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \setminus \{0\} $ 에서 $ g(x) \propto x^\alpha $ 이 영역 근처에서의 행동를 엄밀히 기술한다.
• 가우스 제타함수 $ {}_2F_1 $ 를 포함하는 적분 항등식을 사용하여 하이브리드 기법의 평균 제곱 오차(MSE)의 점근적 표현을 유도한다.
• 포터의 부등식과 천천히 변화하는 함수의 성질을 활용하여 MSE 성분에 대한 이론적 경계를 설정한다.
• 거친 변동성 추정 및 거친 버그미 모델에서의 옵션 가격 설정에 대한 수치 실험을 통해 기법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 커널 함수가 영역에서 거듭제곱 법칙 특이성을 가지는 경우, BSS 과정의 이산화 오차는 어떻게 감소시킬 수 있는가?
• RQ2 거듭제곱 법칙 및 단계 함수 근사 방식을 조합한 하이브리드 이산화 기법의 평균 제곱 오차의 점근적 행동는 어떠한가?
• RQ3 제안된 하이브리드 기법은 계산 비용을 증가시키지 않으면서도 표준 전진 리만 합 기법보다 더 높은 정확도를 달성하는가?
• RQ4 이 하이브리드 기법은 거친 변동성 모델에서 거칠기 파라미터 $ \alpha $ 의 유한 표본 추정에 효과적으로 적용될 수 있는가?
• RQ5 거친 버그미 모델 하에서 몬테카를로 시뮬레이션에서 하이브리드 기법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 하이브리드 기법의 평균 제곱 오차는 $ n^{-(2\alpha+1)}L_g(1/n)^2 $ 의 속도로 감소하며, 여기서 $ L_g $ 는 천천히 변화하는 함수이다. 이는 이론적으로 최적의 수렴 속도와 일치한다.
• 하이브리드 기법의 평균 제곱 오차는 주로 영역 근처의 거듭제곱 함수 근사에서 발생하는 오차에 의해 점근적으로 지배되며, 이는 표준 리만 합 기법의 오차보다 크게 작다.
• 두 기법이 동일한 계산 복잡도를 가지더라도, 하이브리드 기법은 표준 전진 리만 합 방법보다 정확도가 크게 향상된다.
• 수치 실험을 통해 하이브리드 기법이 BSS 과정에서 거칠기 파라미터 $ \alpha $ 의 더 정확한 유한 표본 추정을 가능하게 함을 확인하였다.
• 거친 버그미 모델 하에서 몬테카를로 옵션 가격 설정 시뮬레이션에서, 하이브리드 기법은 편향을 감소시키고 수렴 속도를 향상시킨다.
• 이론적 분석을 통해 하이브리드 기법의 오차가 점근적으로 $ \mathbb{E}[\sigma(0)^2] D_n' $ 과 동치임을 확인하였으며, 여기서 $ D_n' \sim n^{-(2\alpha+1)}L_g(1/n)^2 $ 이다. 이는 점근적 영역에서의 최적성임을 입증한다.