[논문 리뷰] Hybrid subconvexity for class group $L$-functions and uniform sup norm bounds of Eisenstein series

Asbjørn Christian Nordentoft|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 10.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 히케의 공식을 통해 헤이거 포인트에서 평가된 아이소메트릭 제타 함수와 연결된 아이소메트릭 제타 함수의 하이브리드 서브컨벡시티 바운드를 수립한다. 주요 기여는 에이젠스타이니 스리스에 대한 균일한 L∞ 노름 바운드이다: $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$ for $y \gg 1$, 이는 이전 결과를 향상시키며, 판별자 및 스펙트럼 측면에서 새로운 서브컨벡시티 추정치를 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper we prove a hybrid subconvexity bound for class group $L$-functions associated to a quadratic extension $K/\mathbb{Q}$ (real or imaginary). Our proof relies on relating the class group $L$-functions to Eisenstein series evaluated at Heegner points using formulas due to Hecke. The main technical contribution is the following uniform sup norm bound for Eisenstein series $E(z,1/2+it)\ll_\varepsilon y^{1/2} (|t|+1)^{1/3+\varepsilon}, y\gg 1$, extending work of Blomer and Titchmarsh. Finally, we propose a uniform version of the sup norm conjecture for Eisenstein series.

연구 동기 및 목표

• 허수 제곱 수체의 클래스 군 L-함수에 대한 하이브리드 서브컨벡시티 바운드를 판별자 $D$와 스펙트럼 매개변수 $t$ 에 대해 수립하기.
• 에이젠스타이니 스리스 $E(z,1/2+it)$ 에 대한 균일한 L∞ 노름 바운드를 유도하여 $y = \Im(z)$ 와 $t$ 에 대한 의존도를 명시적으로 제어하기.
• 히케의 공식을 활용하여 에이젠스타이니 스리스의 L∞ 노름 문제와 클래스 군 L-함수의 서브컨벡시티 추정치를 연결하기.
• 에이젠스타이니 스리스에 대한 균일한 노름 추측을 제안하여 볼록성 바운드를 초월한 확장 가능성을 제시하기.

제안 방법

• 히케의 고전적 공식을 활용하여 헤이거 포인트에서 평가된 클래스 군 L-함수와 에이젠스타이니 스리스를 연결: $L_K(s,\chi) = \frac{2^{s+1}\zeta(2s)|D|^{-s/2}}{\omega_K} \sum_{\mathfrak{a}} \chi(\mathfrak{a}) E(z_\mathfrak{a}, s)$.
• 에이젠스타이니 스리스에 대한 균일한 L∞ 노름 바운드 수립: $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$ for $y \gg 1$, 블로머와 티치머스의 작업을 확장.
• 에이젠스타이니 스리스의 푸리에 전개에서 발생하는 진동하는 합을 제어하기 위해 지수 합 방법과 이중 분할 기법을 적용.
• 연속 스펙트럼에 적합하게 조정된 이와니에츠–사르나크 방법의 변형을 사용하여 스펙트럼 측면에서 $1/3+\varepsilon$ 지수를 유도.
• 최적의 평균화 매개변수 선택 $\rho \asymp Q(\mathbf{X})^{1/2}|t|^{-1/3}a^{-1/2}$ 를 통해 오차 항을 균형 잡아 최종 바운드 도출.
• 균일한 바운드를 활용하여 $L_K(1/2+it,\chi)$ 에 대한 하이브리드 서브컨벡시티를 유도하며, $t$-측면에서 이전 결과를 향상시키고 $D$-의존성까지 확장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에이젠스타이니 스리스 $E(z,1/2+it)$ 에 대한 균일한 L∞ 노름 바운드를 $y = \Im(z)$ 와 $t$ 에 대한 명시적 의존도를 포함하여 수립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 균일한 L∞ 노름 바운드는 어떻게 클래스 군 L-함수 $L_K(s,\chi)$ 의 하이브리드 서브컨벡시티 추정치를 도출하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 형태 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{\delta}(|t|+1)^{\varepsilon}$ 의 바운드에서 최적의 지수 $\delta$ 는 무엇이며, $\delta = 1/2$ 는 최적이 되는가?
• RQ4 에이젠스타이니 스리스에 대한 노름 추측을 $y$ 와 $t$ 전반에 걸쳐 균일하게 제안할 수 있으며, 이는 서브컨벡시티에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 하이브리드 서브컨벡시티 바운드에서 $L_K(1/2+it,\chi)$ 의 $D$ 와 $t$ 에 대한 최적의 의존성은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 균일한 L∞ 노름 바운드를 수립한다: $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$ for $y \gg 1$, 이는 이전의 $1/2+\varepsilon$ 볼록성 바운드와 영의 $3/8+\varepsilon$ 바운드를 향상시킨다.
• 이 바운드는 클래스 군 L-함수에 대한 하이브리드 서브컨벡시티 추정치를 암시한다: $L_K(1/2+it,\chi) \ll_{\varepsilon} |D|^{1/4+\varepsilon}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$, 이는 $1/2+\varepsilon$ 볼록성 바운드를 향상시킨다.
• 증명은 에이젠스타이니 스리스의 푸리에 전개에서 발생하는 진동하는 합을 제어하기 위해 지수 합 방법과 이중 분할 기법의 새로운 응용에 기반한다.
• 저자들은 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{\delta}(|t|+1)^{\varepsilon}$ 형태의 어떤 균일한 바운드도 $\delta \geq 1/2$ 를 만족해야 하며, $y^{1/2}$ 인자에 대한 최적성은 증명한다.
• 논문은 균일한 L∞ 노름 추측을 제안한다: $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{\varepsilon}$, 이는 클래스 군 L-함수의 가족에서 $D$ 와 $t$ 양측에 대한 동시 리델뢰프 가설을 암시한다.
• 오차 항의 균형 조정을 위한 최적의 평균화 매개변수 $\rho$ 선택을 통해 스펙트럼 측면에서 $1/3+\varepsilon$ 지수를 도출함으로써 결과를 달성한다.