[논문 리뷰] Hybrid zonotopes: a new set representation for reachability analysis of mixed logical dynamical systems

Trevor J. Bird, Herschel C. Pangborn외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 28.

Formal Methods in Verification인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 혼합 논리 동적(Mixed Logical Dynamical, MLD) 시스템으로 모델링된 이산 시간 선형 하이브리드 시스템의 정확한 도달 가능 집합을 압축적으로 표현할 수 있는 새로운 비볼록 집합 표현인 하이브리드 조노토프(hybrid zonotopes)를 소개한다. 연속적이고 이진 조노토프 요소를 조합함으로써, 표현 복잡도가 선형적으로 증가하는 방식으로 $2^N$개의 제약 조건이 붙은 조노토프의 합집합을 표현함으로써, 지수적 팽창 없이 정확한 도달 가능성 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This article presents a new set representation named the hybrid zonotope that is equivalent to the union of $2^N$ constrained zonotopes -- convex polytopes -- through the addition of $N$ binary zonotope factors. The major contribution of this manuscript is a closed-form solution for exact forward reachable sets of discrete-time, linear hybrid systems modeled as mixed logical dynamical systems. The proposed approach captures the worst-case exponential growth in the number of convex sets required to represent the nonconvex reachable set while exhibiting only linear growth in the complexity of the hybrid zonotope set representation. Redundancy removal techniques are provided that leverage binary trees to store the combinations of binary factors of the hybrid zonotope that map to nonempty convex subsets. Numerical examples show the hybrid zonotope's ability to compactly represent nonconvex reachable sets with an exponential number of features. Furthermore, the hybrid zonotope is shown to be closed under linear mappings, Minkowski sums, generalized intersections, and halfspace intersections.

연구 동기 및 목표

• 하이브리드 시스템의 도달 가능성 분석 과정에서 발생하는 볼록 집합 표현의 지수적 증가 문제를 해결한다.
• 과잉 근사 없이 선형 MLD 시스템의 정확한 도달 가능 집합을 표현할 수 있는 비볼록 집합 표현을 개발한다.
• 비볼록 집합의 합집합 표현에서의 중복을 줄임으로써 도달 가능 집합의 계산을 효율적으로 수행할 수 있도록 한다.
• 세트 이론적 분석에 활용하기 위해 선형 사상, 민코프스키 합, 교집합과 같은 핵심 집합 연산에 대해 닫힘 성질을 확보한다.
• 과잉 근사 기반 방법이 겪는 보수성과 계산 불가능성 문제를 해결할 수 있는 확장 가능하고 정확한 대안을 제공한다.

제안 방법

• 하이브리드 조노토프를 제안함으로써, $N$개의 이진 조노토프 요소를 통해 $2^N$개의 제약 조건이 붙은 조노토프의 합집합을 표현함으로써 비볼록 도달 가능 집합을 정확히 표현한다.
• 하이브리드 조노토프를 사용하여 이산 시간 MLD 시스템의 전방 도달 가능 집합에 대한 폐쇄형 해를 유도함으로써, 가드 교차, 동역학 전환, 리셋 맵을 암묵적으로 통합한다.
• 이진 트리와 혼합정수계획법(MILP)을 활용하여, 공집합에 대응하는 이진 요소 조합의 중복을 식별하고 제거한다.
• 지원 함수 계산과 반평면 교차 탐지를 효율적으로 수행하기 위해 혼합정수선형계획법(MILP) 설정을 활용한다.
• 하이브리드 조노토프의 대수적 구조적 성질을 통해 선형 사상, 민코프스키 합, 일반화된 교집합, 반평면 교차에 대해 닫힘 성질을 확보한다.
• YALMIP를 사용하여 방법을 구현하고, 기준 방법 두 가지(M1: 제약 조건이 붙은 조노토프를 통한 지수적 증가; M2: MILP 기반 압축 표현)와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표현 복잡도가 선형적으로 증가하는 비볼록 집합 표현을 개발하여 선형 하이브리드 시스템의 정확한 도달 가능 집합을 표현할 수 있는가?
• RQ2 가드 교차와 모드 전환으로 인한 지수적 분기 문제를, 볼록 집합의 수가 급격히 증가하지 않도록 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 정확성과 계산 효율성을 유지하면서 하이브리드 조노토프 표현의 중복을 어느 정도 제거할 수 있는가?
• RQ4 기본 기준 방법과 비교했을 때 하이브리드 조노토프의 계산 시간, 표현 크기, 벤치마크 문제에 대한 확장성은 어떠한가?
• RQ5 민코프스키 합과 반평면 교차와 같은 핵심 집합 연산을 계산 효율적이고 정확하게 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 하이브리드 조노토프 표현은 전통적 방법이 worst-case로 지수적 증가를 보이는 것과는 달리, 표현 복잡도가 선형적으로 증가하는 방식으로 MLD 시스템에 대해 정확한 도달 가능 집합 계산을 달성한다.
• Case $(12,4)$에서 M1 방법은 20시간이 넘도록 완료되지 않았고, 하이브리드 조노토프 방법(HCG-r)은 1초 미만으로 완료되었으며, 최소한의 오버헤드를 보였다.
• 중복 제거를 적용한 감소된 하이브리드 조노토프(HCG-r)는 지원 함수 평가 및 반평면 교차 탐지의 평균 계산 시간이 가장 낮았으며, M1 및 M2를 모두 압도했다.
• Case $(12,4)$에서 하이브리드 조노토프를 사용한 방법은 1312개의 연속적 생성자와 1604개의 이진 변수만을 요구했고, M1의 경우 170만 개 이상의 볼록 집합을 필요로 했다.
• 하이브리드 조노토프는 선형 사상, 민코프스키 합, 일반화된 교집합, 반평면 교차에 대해 닫힘 성질을 보이며, 더 넓은 세트 이론적 분석 파이프라인에 활용 가능하다.
• 수치적 결과는 하이브리드 조노토프가 지수적 수의 특징을 선형 수의 파rameter로 압축적으로 표현함으로써 비볼록 도달 가능 집합을 매우 효율적으로 표현함을 보여주며, 확장성과 효율성 모두 크게 향상시켰다.