[논문 리뷰] Hydrodynamic Theory of the Connected Spectral Form Factor

Michael Winer, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 02.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 혼돈 시스템에서 연결된 스펙트럼 형상 인자(SFF)에 대한 유체역학 효과 이론을 개발하며, 초기 시점에서 랜덤 매트릭스 이론(RMT) 램프에 대한 수정을 제어하는 느린 유체역학 모드—특히 에너지 확산—가 어떻게 작용하는지 보여준다. 이 틀은 거의 보존되는 섹터를 가진 시스템에서 SFF에 대한 일반 공식을 유도하며, SFF의 주기적 시간 경로에 맞게 변동하는 유체역학을 적응시키고, 푸아소프 시간(Thouless time)이 유체역학적 회복에 의해 결정됨을 예측한다. 해밀토니안 및 플로케 시스템에 대한 명시적 결과를 포함한다.

ABSTRACT

One manifestation of quantum chaos is a random-matrix-like fine-grained energy spectrum. Prior to the inverse level spacing time, random matrix theory predicts a `ramp' of increasing variance in the connected part of the spectral form factor. However, in realistic quantum chaotic systems, the finite time dynamics of the spectral form factor is much richer, with the pure random matrix ramp appearing only at sufficiently late time. In this article, we present a hydrodynamic theory of the connected spectral form factor prior to the inverse level spacing time. We start from a discussion of exact symmetries and spectral stretching and folding. We then derive a general formula for the spectral form factor of a system with almost-conserved sectors in terms of return probabilities and spectral form factors within each sector. Next we argue that the theory of fluctuating hydrodynamics can be adapted from the usual Schwinger-Keldysh contour to the periodic time setting needed for the spectral form factor, and we show explicitly that the general formula is recovered in the case of energy diffusion. We also initiate a study of interaction effects in this modified hydrodynamic framework and show how the Thouless time, defined as the time required for the spectral form factor to approach the pure random matrix result, is controlled by the slow hydrodynamics modes.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 매트릭스 이론을 초월하여 양자 혼돈 시스템에서 스펙트럼 상관관계에 대한 체계적인 효과 이론을 수립하기 위해.
• 초기 시점에서 순수한 랜덤 매트릭스 램프에서의 이탈을 유도하는 느린 유체역학 모드—특히 에너지 확산—가 스펙트럼 형상 인자에 어떻게 영향을 주는지 밝히기 위해.
• 해밀토니안 시스템에서 플로케 시스템으로의 확장 및 약한 외부 드라이브 하에서 해밀토니안에서 플로케 SFF 행동으로의 전이를 유도하기 위해.
• 스펙트럼 형상 인자의 램프에 수렴하는 시간 척도인 푸아소프 시간을 유체역학적 회복에 뿌리를 두고 통합적인 기술을 제공하기 위해.

제안 방법

• 거의 보존되는 섹터를 가진 시스템에서 연결된 스펙트럼 형상 인자의 일반 공식을 복귀 확률과 섹터별 SFF를 사용하여 유도하기 위해.
• 스펙트럼 형상 인자에 필요한 주기적 시간 경로에 맞게 변동하는 유체역학의 형식을 스윙거-켈디시 유사 접근법을 사용해 적응시키기 위해.
• 에너지 확산의 경우에 일반 공식이 복귀됨을 보이며, SFF를 변동하는 힘을 가진 확률적 편미분방정식으로 매핑함으로써 결과로 얻어진 작용이 쌍대장에 대해 선형임을 확인하기 위해.
• 상호작용 수정을 SFF에 대해 유체역학 틀을 적용하고, 푸아소프 시간이 유체역학 모드의 회복 시간임을 규명하기 위해.
• 약한 드라이브 근사에서 해밀토니안 램프에서 플로케 램프로의 전이 공식을 유도함으로써 형식을 플로케 시스템으로 확장하기 위해.
• 스펙트럼 편평화 및 필터링 기법을 사용하여 비선형 스펙트럼 변형(접힘 및 늘임 포함) 하에서 램프 계수의 강인성을 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 확산과 같은 유체역학 모드는 양자 혼돈 시스템에서 연결된 스펙트럼 형상 인자의 초기 시점 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 푸아소프 시간은 랜덤 매트릭스 이론의 램프에 수렴하는 데 기여하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 유체역학적 회복에 의해 어떻게 결정되는가?
• RQ3 플로케 시스템의 스펙트럼 형상 인자는 해밀토니안 시스템과 어떻게 다를까? 그리고 약한 주기적 드라이브 하에서의 전이 행동은 어떠한가?
• RQ4 스펙트럼 상관관계, 특히 SFF의 램프는 비선형 스펙트럼 변환(예: 늘임 또는 접힘)에 대해 어느 정도 불변인가?
• RQ5 유체역학에 기반한 효과 이론이 늦은 시점의 랜덤 매트릭스 램프와 물리적 해밀토니안의 구조에서 기인하는 초기 시점 수정을 모두 재현할 수 있는가?

주요 결과

• 유체역학 이론은 거의 보존되는 섹터를 가진 시스템에서 연결된 스펙트럼 형상 인자의 일반 공식을 재현하며, 이를 복귀 확률과 섹터별 SFF에 연결한다.
• SFF가 랜덤 매트릭스 결과에 수렴하는 시점인 푸아소프 시간은 느린 유체역학 모드의 회복 시간에 의해 결정되며, 특히 에너지 확산에 의해 결정된다.
• 에너지 확산의 경우, SFF는 변동하는 힘을 가진 확률적 편미분방정식에서 유도되며, 결과로 얻어진 작용은 쌍대장에 대해 선형이므로 유체역학적 유도를 확인한다.
• 플로케 시스템의 경우, 약한 드라이브 근사에서 해밀토니안 램프에서 플로케 램프로의 전이 공식을 유도하였으며, 주기적 드라이브로 인해 다른 계수를 가지는 것으로 나타났다.
• 비특이적 스펙트럼 접힘과 늘임은 변환이 매끄럽고 비특이적이라면 SFF의 램프 계수를 유지한다. 다중가닥 영역에서는 램프 계수가 가지수에 따라 스케일링된다.
• 수치 결과는 늘인 스펙트럼과 접힌 스펙트럼 모두에서 램프 계수에 대한 분석 예측을 확인하였으며, $f_{\text{stretch}}(E) = E - E^3$와 같은 다중 고유값 가지수를 가진 경우에도 성립한다.