[논문 리뷰] Hyperbolic components in spaces of polynomial maps

John Milnor, Alfredo Poirier|arXiv (Cornell University)|1992. 02. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 차수-$d$ 다항 지ap의 공간에서 모든 쌍곡 성분이 유일한 후보적으로 유한한 지도를 포함하는 위상적 셀임을 증명한다. 성분의 중심으로서 존재한다. 이 논문은 다항 지도의 동역학으로부터 유도된 축소된 사상 스키마 $\bar{S}(f)$를 도입하여, 이는 쌍곡 성분을 분류하는 위상적 불변량이며, 동일한 스키마를 가진 성분들은 정규적으로 복소해석적으로 동일시됨을 증명한다. 보충문서에서 Poirier는 이러한 모든 스키마가 확장되는 추상 Hubbard 나무 구성에 의해 후보적으로 유한한 다항 지도에 의해 실현 가능하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We consider polynomial maps $f:\C o\C$ of degree $d\ge 2$, or more generally polynomial maps from a finite union of copies of $\C$ to itself which have degree two or more on each copy. In any space $\p^{S}$ of suitably normalized maps of this type, the post-critically bounded maps form a compact subset $\cl^{S}$ called the connectedness locus, and the hyperbolic maps in $\cl^{S}$ form an open set $\hl^{S}$ called the hyperbolic connectedness locus. The various connected components $H_α\subset \hl^{S}$ are called hyperbolic components. It is shown that each hyperbolic component is a topological cell, containing a unique post-critically finite map which is called its center point. These hyperbolic components can be separated into finitely many distinct ``types'', each of which is characterized by a suitable reduced mapping schema $\bar S(f)$. This is a rather crude invariant, which depends only on the topology of $f$ restricted to the complement of the Julia set. Any two components with the same reduced mapping schema are canonically biholomorphic to each other. There are similar statements for real polynomial maps, or for maps with marked critical points.

연구 동기 및 목표

• 다항 지도 공간에서의 쌍곡 성분을 위상적 불변량을 사용하여 분류하는 것.
• 모든 쌍곡 성분이 유일한 후보적으로 유한한 중심 지도를 포함하는 위상적 셀임을 증명하는 것.
• 동일한 축소된 사상 스키마를 가진 쌍곡 성분들이 정규적으로 복소해석적으로 동일시됨을 보여주는 것.
• 분류를 실수 다항 지도와 마킹된 임계점을 가진 지도로 확장하는 것.
• 모든 축소된 사상 스키마가 추상 Hubbard 나무를 통해 후보적으로 유한한 다항 지도에 의해 실현 가능하다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 다항 지도 $f$의 채워진 캐슬리 세트의 성분들 위에서의 동역학으로부터 축소된 사상 스키마 $\bar{S}(f) = (|\bar{S}|, \bar{F}, \bar{w})$를 정의한다.
• 각 스키마 $S$에 대해 블라슈케 곱의 표준 모델 공간 $B(S)$를 구성하여 주요 쌍곡 성분 $H^0_S$를 형성한다.
• Douady-Hubbard 직선화(수술) 기법을 사용하여, 스키마 $S$를 가진 모든 쌍곡 성분이 $\bar{G}(S)$의 자동형군을 제외하고 유일한 동형사상으로 $B(S)$와 미분동형임을 보인다.
• 이 동형사상이 실제로 정규적인 복소해석적 동형사상임을 증명하여, 동일한 스키마를 가진 성분들 사이의 해석적 등가성을 확립한다.
• 임계점 사이에 비임계 정점들을 추가하여 축소되지 않은 스키마 $S$를 $\bar{S}$에서 구성하여 동역학을 모델링한다.
• 확장되는 추상 Hubbard 나무를 통해 축소되지 않은 스키마 $S$를 실현하여, $\bar{S}$를 실현하는 후보적으로 유한한 다항 지도의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수-$d$ 다항 지도 공간에서 모든 쌍곡 성분은 위상적 셀인가?
• RQ2 채워진 캐슬리 세트 위에서의 동역학으로부터 유도된 위상적 불변량으로 쌍곡 성분의 구조를 분류할 수 있는가?
• RQ3 동일한 축소된 사상 스키마를 가진 쌍곡 성분들 사이에 정규적인 복소해석적 동형이 존재하는가?
• RQ4 모든 추상적 축소된 사상 스키마는 후보적으로 유한한 다항 지도에 의해 실현 가능한가?
• RQ5 실수 다항 지도의 형태는 쌍곡 성분의 분류와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 차수 $d$의 모닉이고 중심이 있는 다항 지도 공간에서의 각 쌍곡 성분 $H_\alpha$는 위상적 셀이다.
• 각 쌍곡 성분은 유일한 후보적으로 유한한 지도를 포함한다. 이를 성분의 중심 지도라고 한다.
• 동형인 축소된 사상 스키마를 가진 쌍곡 성분들은 상호간에 정규적인 복소해석적 동형을 가진다.
• 축소된 사상 스키마 $\bar{S}(f)$는 쌍곡 성분을 유한한 유형으로 분류하는 위상적 불변량이다.
• 모든 축소된 사상 스키마 $\bar{S}$는 확장되는 추상 Hubbard 나무의 구성에 의해 실현 가능하다는 것이 증명된다.
• 실수 다항 지도의 경우, $d$가 짝수일 때는 $d/2$개의 서로 다른 실수 형태가 존재하고, $d$가 홀수일 때는 $d+1$개가 존재한다. 이는 서로 다른 수의 실수 임계점을 의미한다.