[논문 리뷰] Hyperbolic groups with almost finitely presented subgroups

Robert Kropholler, Federico Vigolo|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 CAT(0) 큐브 복합체와 무한 관계를 가진 군 표현을 기반으로 한 새로운 구성 방법을 사용하여, 초평면군(hyperbolic group)에 속하는 유형 $FP_2$이지만 유한적으로 표현되지 않는 부분군의 첫 번째 알려진 예를 구축한다. 주요 기여는 $\ker(\phi)$가 유형 $FP_2$이지만 유한적으로 표현되지 않는 초평면군 $G$와 그로부터 유도된 군 준동형 $φ: G \to \mathbb{Z}$를 제공하는 것으로, 이는 초평면성이 $FP_2$ 부분군에 대해 코homological 차원 2를 초월할 경우 유한 표현 가능성(finite presentability)을 보장하지는 않음을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we create many examples of hyperbolic groups with subgroups satisfying interesting finiteness properties. We give the first examples of subgroups of hyperbolic groups which are of type $FP_2$ but not finitely presented. We give uncountably many groups of type $FP_2$ with similar properties to those subgroups of hyperbolic groups. Along the way we create more subgroups of hyperbolic groups which are finitely presented but not of type $FP_3$.

연구 동기 및 목표

• 초평면군의 부분군 중 강한 호모로지적 유한성 성질을 가지지만 유한적으로 표현되지 않는 부분군을 구성하기.
• 초평면군의 $FP_2$ 부분군은 반드시 유한적으로 표현되어야 한다는 추측을 도전하기.
• 특히 코homological 차원 3에서, $FP_2$ 군이 초평면군에 어떻게 임베딩될 수 있는지를 탐색하기.
• 기존의 초평면 임베딩에 대한 장애물(예: $BS(m,n)$ 부분군 또는 무한 토크션)을 피하면서, 비가чёт 수 많은 $FP_2$ 군을 생성하기.

제안 방법

• 유한 생성이지만 무한히 표현된 군 $H$를 사용하며, 그 표현은 $\langle S \mid U \rangle$ 형태이며, $S$는 유한하고 $U$는 무한하다.
• 각 부분집합 $Z \subseteq U$에 대해, $H(Z) = \langle S \mid Z \rangle$로 정의된 몫군을 구성하여 군의 가족을 생성한다.
• 단지 가чёт 수 많은 $H(Z)$들이 상호 동형임을 증명하여, 서로 다른 동형류가 비가чёт 수 존재함을 보장한다.
• 호모로지적 유한성 기준을 통해, 이들 $H(Z)$ 중 비가чёт 수가 유형 $FP_2$임을 보인다.
• 삼분할 플래그 복합체 $\Gamma_A$와 $\Gamma_B$를 사용하여, $\prod_{i=1}^3 A_i * B_i$의 곱 구조를 활용해 초평면군 $G$를 CAT(0) 큐브 복합체로부터 구성한다.
• 기본군이 원하는 초평면군 $G$를 제공하는 최대 부분복합체 $\mathbf{X}_{\Gamma_A,\Gamma_B}$를 정의하고, $\ker(\phi)$가 유형 $FP_2$이지만 유한적으로 표현되지 않는 군 준동형 $φ: G \to \mathbb{Z}$를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초평면군의 부분군으로서 유형 $FP_2$이지만 유한적으로 표현되지 않는 것이 존재할 수 있는가?
• RQ2 초평면군의 부분군에 대해, $FP_2$ 성질이 유한 표현 가능성과 동치인가?
• RQ3 비가чёт 수의 $FP_2$ 군 중 $BS(m,n)$ 부분군이나 무한 토크션을 포함하지 않으며, 초평면군에 임베딩될 수 있는 가능성이 있는 것이 존재하는가?
• RQ4 초평면군에 $FP_2$ 군을 임베딩하는 데 있어 장애물은 무엇이며, 이러한 장애물을 극복할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 초평면군 $G$와 군 준동형 $φ: G \to \mathbb{Z}$를 구성하여, $\ker(\phi)$가 유형 $FP_2$이지만 유한적으로 표현되지 않음을 보이며, 이러한 예는 처음으로 제공된다.
• $\ker(\phi)$가 유형 $FP_3$이 아니라는 점을 보여, 이 현상은 $FP_2$에 국한되어 있으며 고차원 유한성 성질로의 확장은 불가능하다.
• $H(Z) = \langle S \mid Z \rangle$의 군들 중에서 비가чёт 수가 유형 $FP_2$이지만, 상호 동형인 경우는 가чёт 수에 불과함을 보였다.
• 구성된 $FP_2$ 군들은 $BS(m,n)$ 부분군이나 무한 토크션 부분군을 포함하지 않아, 초평면 임베딩에 대한 모든 알려진 장애물을 피하고 있음.
• 삼분할 플래그 복합체를 사용한 CAT(0) 큐브 복합체의 구성은 링크 구조를 통해 비양의 곡률과 초평면성을 보장한다.
• 이 방법은 코homological 차원 3에서의 초평면군에서 $FP_2$와 유한 표현 가능성 간의 동치성 관계가 성립하지 않음을 보여주며, 이는 차원 2에서는 성립하지 않는다는 점을 시사한다.